第一单元 集合与逻辑 推理与证明

本章知识结构

本章重点难点聚焦

重点：(1)与集合有关的基本概念和集合的并、交、补运算。

(2)全称量词、全称命题、存在量词、特称命题等概念及应用。

(3)充分、必要、充要条件的意义，两个命题充要条件的判断。

(4)合情推理与演绎推理的概念和应用。

(5)直接证明与间接证明的基本方法。

难点：(1)有关集合的各个概念的含义以及这些概念之间的联系。

(2)含有一个量词的命题的否定。

(3)判断充要条件时，区分命题条件和结论。

(4)运用合情推理与演绎推理解决问题。

(5)反证法的证明。

本章学习中注意的问题：

(1)在解答有关集合问题时，首先弄清代表元素，明确元素特点;当集合元素含有参数时，注意元素互异性;在集合运算中注意边界点、临界点及空集可能性。

(2)注意全称命题，特称命题的否定。

(3)研究充分条件，必要条件，充要条件时注意联系命题，注意原命题与逆否命题的等价性。

(4)注意数形结合，分类讨论，等价转化等思想方法的运用。

本章高考分析及预测

(1)近几年来，每年都有考查集合的题目，总体来说这部分试题有如下特点：一是基本题，难度不大;二是大都以选择题、填空题形式出现，有时是解答题的一个步骤。对于集合的考查：一是考查对基本概念的认识和理解，二是对集合知识的应用。无论哪一种形式，都以其他基础知识为载体，如方程(组)、不等式(组)的解集等。

(2)对于逻辑的考查主要考查四种形式的命题和充要条件，特别是充要条件，已经在许多省市的试卷中单独出现，命题形式：一是原命题与逆否命题的等价性(含最简单的反证法);二是充要条件的判定。在考查基础知识的同时，还考查命题转换、推理能力和分析问题的能力以及一些数学思想方法的考查。

(3)推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的考查无处不在，从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明是高考中常考的题型之一，对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断经常用到，有独到之处。

(4)预计在2009年的高考中，集合部分的试题还将以选择题或填空题的形式出现，主要考查集合语言与集合思想的运用，考查以集合为背景的应用性、开放性问题，命题将构思巧妙、独特新颖、解法灵活;而对于命题的考查与其它知识相结合，因此基本概念和技能一定要落实好。

1.1 集合 集合间的基本关系

新课标要求

1、了解集合的含义，元素与集合的属于关系。

2、能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。

3、理解集合之间的包含和相等的含义，能识别给定集合的子集。

4、在具体情景下，了解全集与空集的含义。

重点难点聚焦

重点：(1)集合的概念与表示。

(2)集合之间的基本关系。

难点：(1)集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。

(2)元素与集合、集合与集合之间的关系以及符号的应用。

(3)空集的特殊性。

高考分析及预测

集合是数学中最基本的概念之一，集合语言是现代数学的基本语言，因此集合的概念以及集合之间的关系是历年高考的必考内容之一，本部分的考查一般有两种形式：一是考查集合的相关概念，集合之间的关系，题型以选择题、填空题为主;二是考查集合语言、集合思想的理解与应用，这多与其他知识融为一体，题型也是一般以选择填空为主，单纯的集合问题以解答题形式出出现的几率较小，多是与函数、不等式等联系。在复习中还要特别注意，新课标的中特别强调表达与描述同一问题的三种语言自然语言、图形语言、集合语言之间的关系，因此要注意利用韦恩图数轴函数图象相结合的作用，另外集合新定义信息题在近几年的命题中时有出现，注意研究。2009年是新课标命题第三年，预测在高考中部分会继续保持稳定难度不会太大，命题形式会更加灵活新颖。

提组设计

再现型题组

1、填空

(1)下列说法中①全中国的大胖子，②小于100的所有质数，③幸福中学高三1班同学，④2008年北京奥运会的所有比赛项目，

以上四个说法不能组成集合的是

(2)集合A=,则实数k的取值范围是

2、选择

(1)设全集U=R,集合M=,N=则下列关系中正确的是( )

A、M=N B、 C、 D、

(2)给出如下关系式①②,③④⑤⑥{a}{a},其中正确的是( )

A、①②④⑤ B、②③④⑤ C、②④⑤ D、②④⑤⑥

巩固型题组

3.2008年第29届奥运会在北京召开，现在三个实数的集合，既可以表示为，也可以表示为，则 。

4.已知集合，则A,B,C之间的关系是 。

A. B. C. D.

5.设P,Q为两个非空集合，定义集合，若则中元素的个数是 。

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

6.记函数的定义域为A, 的定义域为B.

(1)求A.

(2)若，求实数a的取值范围.

提高型题组

7.已知，求实数x.

8.已知集合。

(1)若求实数m的取值范围.

(2).若求实数m的取值范围.

(3)若求实数m的取值范围.

反馈型题组

9.(08年江西)定义集合运算，则集合的所有元素之和为( )。

A . 0 B.2 C. 3 D. 6

10.设集合，则正确的是( )

11.(08福建)设集合A=,B=,那么是的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

12.已知集合A=只有一个元素，则a=

13.已知集合，集合。

(1)若,求实数a的取值范围;

(2)若,求实数a的取值范围;

(3)A、B能否相等?若能，求出a的值;若不能，试说明理由。

14.设A为实数集，满足,,

(1)若,求A;

(2)A能否为单元素集?若能把它求出来，若不能，说明理由;

(3)求证：若,则

15.已知集合,集合,

其中,设全集I=R,欲使，求实数a的取值范围。

1.2集合的运算

新课标要求

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

(2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义。会求给定子集的补集。

(3)能使用韦恩图表达集合的关系及运算。

重点难点聚焦

并集、交集、补集的含义，以及两个集合之间并、交、补的运算

高考分析及对策

(1)以考查集合的并、交、补等运算为主，同时注重韦恩，数轴应用，求并、交、补等数形结合的思想的考查。

(2)本节在高考中常以选择、填空题型考查，属容易题。

题组设计

再现型题组

1.已知集合M=则为

A B

C D

2 已知集合,,R是全集。

① ② ③ ④

其中成立的是( )

A ①② B ③④ C ①②③ D ①②③④

巩固形题组

3.设函数的定义域M，函数的定义域为N，求

(1)集合M，N

(2)集合,

4.(08湛江模拟)已知集合，N为自然数集合，求

5.(07北京)已知集合，，若

，求a的取值范围

提高型题租

6.(08广东清远)记函数的定义域为A，，(a1)的定义域为B

(1)求A

(2)若，求实数a的取值范围

7.已知,且求实数m的取值范围

8.设全集是实数集R，，。

(1)当a=-4时，求

(2)若，求实数a的取值范围

反馈型题组

9.设全集U是实数集R，,,则图中阴影部分所表示的集合是( )

A. B. C. D.

10.(08广东兴宁模拟)设数集，，M、N都是集合的子集，如果把b-a叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值是

A. B. C. D.

11.定义集合A*B=,设，则集合A*B所有元素之和为

12.高三某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的人数

13.已知集合，

(1)若,求实数a的取值范围

(2)当a取使不等式恒成立的最小值时，求

1.3命题、基本逻辑连接词与量词

新课标要求：

1.了解命题及逆命题、否命题与逆否命题

2.了解逻辑连结词或且非的含义。

3.理解全程量词与存在量词的意义。

4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

5.学会运用等价转化思想进行推理。

重点难点聚焦：

本节内容的重点是有关命题的概念及四种命题间的相互关系;逻辑联结词的含义及命题真假的判定;全称量词与存在量词的有关概念。

本节内容的难点：是对含有一个量词的命题的否定，含有逻辑联结词的命题的真假的判断，以上是重点突破的内容。

高考分析及预测：

1.考查命题转化，逻辑推理能力和分析问题，解决问题的能力。多以选择题、填空题的形式出现。

2.全称量词与存在量词作为新增内容，很有可能在选择题，填空中出现。

题组设计

再现型题组：

1. 分别指出由下列命题构成的， 形式的命题的真假。

(1)p: , q:

(2)p:1是奇数，q:1是质数

(3)p: q:

(4)p: q:27不是质数

(5)p:不等式的解集是

q:不等式的解集是

2. 写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出命题的否定属于全称命题还是特称命题：

(1) 所有的有理数是实数。

(2) 有的三角形是直角三角形

(3) 每个二次函数的图像都与Y轴相交

(4)

巩固型题组

3. 如果命题是真命题，命题 是假命题，那么()

(A)命题p和命题q都是假命题

(B) 命题p和命题q都是真命题

(C) 命题p和命题非q真值不同

(D) 命题p和命题非q真值相同

4.已知，设命题p:函数在R上单调递增;命题q:不等式对恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。

提高型题组

5设P:关于x的不等式的解集是,Q:函数的定义域为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围.

6(2007年江苏统考)下列命题中不正确的是()

A. ,有是等差数列

B. ，使是等差数列

C. ，有是等差数列

D. ，使是等差数列

反馈型题组：

7. 已知命题p: ，则( )

A. : B. :

C. : D. :

8. 命题存在，使的否命题是()

A.存在，使0

B. 不存在，使0

C.对于任意都有

D. 对于任意都有0

9. 命题若ab=0，则a=0或b=0的逆否命题是()

A.若,则或

B. 若或,则

C. 若,则且

D. 若且,则

10. 命题p:不等式的解集为，命题q:A=B是sinA=sinB成立的必要非充分条件，则( )

A.p真q假 B.p且q为真

C. p或q为假 D.p假q真

11. 与命题 若，则等价的命题是()

A. 若，则 B. 若，则

C若 则 D. 若则

12. 如果命题为假命题，则( )

A.p、q.均为真命题

B. p、q.均为假题

C..p、q.中至少有一个为真命题

D .p、q.中至多有一个为真命题

13. 已知命题p: ，q: ，且 p且q与非p同时为假命题，求x的值。

1.4充分条件，必要条件与四种命题

新课标要求

1.本节涉及到的主要基础知识

(1)了解命题及其逆命题，否命题，逆否命题

(2)理解充分条件，必要条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系

2.常用的数学思想方法

演绎法，特例法，转化思想法

3.主要能力

运算能力和逻辑思维能力

重点难点聚焦

本节重点难点是四种命题的等价转化和充分条件，必要条件，充要条件的判断

高考分析和预测

近几年的高考命题中，命题成立的充分，必要及充要条件的求解和判断问题;四种命题的关系已成为高考命题的首选素材。一方面这类问题具有很深广的开放性，另一方面命题的空间广阔，可与多个知识点进行交汇，命题素材随处可见。

题组设计

再现型题组

1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

(1)若，则方程有实根;

(2)若，则或;

(3)若，则全为零

2.在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由

(1)A: 方程有实根;

(2)A:圆与直线相切，B：

巩固型题组

3.已知：，且是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围。

4.下列命题：(1)若xy=0则x,y中至少有一个为零的否命题(2)

面积不相等的三角形不全等，(3)若，则有实根的逆否命题，(4)是方程表示直线的充分不必要条件，其中真命题有

提高型题组

5.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，命题的否定，并判断它们的真假：

(1)若，则方程有实根;

(2)若都是奇数，则是偶数;

(3)若，则或;

(4)若，则全为0.

6.已知抛物线C: 和点A(3，0)，B(0,3).求证：抛物线C与线段AB有两个不同的交点的充要条件是

反馈型题组

7(2007重庆)命题若，则的逆否命题是( )

A.若，则，或 B.若，则

C.若，或，则 D.若或，则

8.(2007北京)平面的一个充分条件是( )

A.存在一条直线,,

B. 存在一条直线, ，

C.存在两条平行直线

D.存在两条异面直线

9.(2007天津)是直线平行于直线的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件

10.(2007湖北)已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：( )

(1)是的充要条件(2)是的充分不必要条件(3)是的必要不充分条件(4)是的必要不充分条件(5)是的充分不必要条件

A.(1)(4)(5) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(5) D.(2)(4)(5)

11.已知条件p: A=条件，

若条件是条件的充分条件，求实数的取值范围

1.5合情推理与演绎推理

新课标要求

1、 了解合情推理的含义，利用归纳与类比等进行简单的推理。

2、 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能进行简单的推理。

重难点聚焦

重点：归纳推理与类比推理的一般步骤，演绎推理的三段论模式。

难点：合情推理的猜想与演绎推理的证明。

高考分析及预测:

推理是高考的重要的内容，推理包括合情推理与演绎推理，由于解答高考题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考察将会渗透到每一个高考题中，考察推理的基本思想和方法，既可能在选择题中和填空题中出现，也可能在解答题中出现。

题组设计

再现型题组

1.根据右边给出的数塔猜测1234569+7=( )

A .1111110 19+2=11

B. 1111111 129+3=111

C. 1111112 1239+4=1111

D. 1111113 12349+5=11111

2.下列那个平面图形与空间中平行六面体作为类比对象比较合适。( )

A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形

3.演绎推理是以( )为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。

A.一般性的原理 B.特定的命题

C.一般性的真命题 D.定理、公式

巩固型题组

4.设{an}是集合中的所有数从小到大排成的数列，即，将各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下三角形数列表：

3

5 6

9 10 12

- - - -

(1)写出这个三角形数表的第四、第五行各数;

(2)求

5.请用类比推理完成下表:

平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半 6.已知函数f(x)=x2+x-1, 是方程f(x)=0的两个根()，f(x)是f(x)的导数。设a1=1,an+1=an- .

(1)求的值。

(2)对任意的正整数n有an ，记，求的前n项和。

7.证明：在上是增函数。

8.由图(1)有面积关系。则由图(2)有体积关系：等于多少?

反馈型题组

9.已知扇形的弧长为,半径为r，类比三角形的面积公式：，可知扇形面积公式( )

D.不可类比

10.在数列( )

11.若点E、F、G、H顺次是空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，EG=3,FG=4,则的值是( )

A.25 B. 50 C.100 D.200

12.等差数列中，，公差d0,则有，类比上述性质，在等比数列中，若，q0,写出的一个不等关系 。

13.在数列中，，猜想这一数列的通项公式。

14.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是多少?(只需写出一个可能的值)

1.6直接证明与间接证明

新课标要求：

1.了解直接证明的两种基本方法---分析法与综合法，了解两种方法的思考过程与特点。

2.了解间接证明的一种基本方法---反证法，了解他的思考过程与特点。

重点难点聚焦：

理解综合法证明与分析法证明的概念及它们的区别，综合证题是由因索果，分析法证题是知果索因，这是两种思路截然不同的方法，在解决问题时可以综合应用。反证法适用于不易直接证明的问题，关键应把握证题的步骤，且证明中必须用到假设。

高考分析及预测

历年高考中都要考察证明，以考察综合法为主，有时也考察到分析法与反证法，2009年预计仍会考到之一部分的内容，很可能涉及立体几何，解析几何，不等式，方程等知识，因此把握好三中证明方法的思考过程和步骤是关键。

题组设计

再现型题组

1.证明分为 与 ，直接证明包括 、 等;间接证明主要是 。

2.综合法：(1)一般的，利用 ，经过

最后 。这种证明方法叫做综合法。

(2).综合法的模式;若用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

3.分析法：一般的，从 出发，逐步寻找使 直至最后，把要证明的结论归结为 (已知条件、定义、定理、公理等)。这种证明方法叫做分析法。分析法可用框图表示为：

4.反证法：一般的，假设 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过

，最后 ，因此说明 ，从而 ，这样的证明方法叫做反证法。

巩固型题组

5.设 a+b0,n为偶数，证明：。

6.已知非零向量，求证：。

7.已知，，

求证：不能同时大于。

提高型题组

8.已知a,b,c为正实数，a+b+c=1

求证：。

9.已知

求证：方程与方程中至少有一个方程由实数根。

反馈型题组

10.下列四个命题，其中属于假命题的是( )

A.不存在无穷多个角和，使得。

B.存在这样的角和，使得。

C.对任意的角和，都有。

D.不存在这样的角和，使得。

11.下列各式对都成立的式子是( )

A . B . C . D.

12.已知x,y是正变数，a,b是正常数，且,则x+y的最小值为 。

13.设则的最大值是 。

14.已知数列为等差数列，且

(1).求数列的通项公式。

(2).证明

15.已知函数

(1).证明：函数在(-1，)上为增函数。

(2).用反证法证明没有负数根。

16.已知函数，证明：

(1).经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴。

(2).这个函数的图像关于直线成轴对称图形。

第一章. 集合与简易逻辑、推理与证明单元综合检测题

一.选择题

1.设全集，集合，则下列关系中正确的是( )

A. B. C. D.

2.已知全集，则为( )

A. {-1,2} B.{-1,0} C.{0,1} D.{1,2}

3.若命题与中一真一假，则可能是( )

A.P真Q假 B.P真Q真 C. 真Q假 D.P假真

4.命题对任意的的否定是( )

A.不存在 B.存在

C.存在 D.对任意

5.设是两个集合，则是的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.推理：(1)矩形是平行四边形;(2)三角形不是平行四边形;(3)所有三角形不是矩形。

其中的小前提是( )

A.(1) B.(2) C.(3) D.(1)和(2)

二.填空题

7.集合，集合，若，则实数 。

8.已知集合，若，则实数的取值范围是 。

9.设为两个命题，则是的 条件。

10.由图(1)有面积关系。则由图(2)有体积关系：等于多少?

三.解答题

11.已知中有一个小于2.

12.已知命题有两个不等的负实根;命题无实根，若或为真，且为假，求实数的取值范围。

答案部分

1.1 集合间的基本关系

再现型题组

1. 填空

(1) 答案：(1)

提示：因为没有规定大胖子的标准，所以(1)不是集合。由于(2)(3)(4)中的对象具备确定性因此可以组成集合。

(2) 答案：

提示：利用集合的元素的互异性可得k2-k

基础知识聚焦：一般地，某些被考察的对象集在一起，就构成了一个集合(简称集)集合中两个对象称为这个集合的元素，又具有三个特性：确定性，无序性，互异性。

确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合中的元素或者不是它的元素。

互异性：相同对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合的一个元素。

无序性：在一个集合中，通常不考虑元素之间的顺序，例如{a,b}={a,b}

变式拓展：(1)下列各组对象中不能形成集合的是( )

A. 高一1班全体学生 B.高一1班全体女学生

C. 张良的所有初中老师, D.李佳的所有好同学

(2)由实数-X,X,|X|,,-,所组成的集合中最多含有( )个元素

A 2 B 3 C 4 D 5

(3)设P,Q为两个非空实数集合 ，定义PQ={z|z=ab,aP,bQ}, 若P={-1,0,1},Q={-2,2}则集合P,Q中元素的个数是()

A 3 B 4 C 5 D6

答案：(1)D (2)A (3)A

2.选择题

(1)答案：C

提示：因为N={x|x1或x-1} 所以MN 选C

(2) 答案：D

提示：(1)不正确，应为a{a,b} (3)不正确，集合间的关系应表示为

(2)(4)(5)(6)都正确，选D

基础知识聚焦：元素与集合之间用属于或不属于表示。

集合与集合之间的关系用符号表示

子集：对于两个集合与如果对于集合的每一个元素，它也是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作AB或BA

真子集：如果集合是集合的子集，并且集合中至少有一个元素不属于集合那么集合叫做集合的真子集，记作AB或BA

拓展变式：

(2006年江苏)若A,B,C为三个集合，AB=BC,则一定有( )

A AC B CA C AC D A

答案：A

提示：由AB=BC知 ABB且 AB C，所以AC且BC，故选A.

巩固型题组：

3.答案：1

解析：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两集合的元素是相同的，这样需要列方程组分类谈论，显然复杂又繁琐。这时若能发现0这个元素，和中a不为0的隐含信息，就能得到如下解法。

由已知得 =0，及a 0，所以b=0，于是 =1，即a=1或a=-1，又根据集合中的互异性a=1应舍去，因而a=-1故

方法点拨：1.利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但仍然要检验，看所得结果是否符合集合元素的互异性的特征。

2.此类问题还可以根据两集合中元素的和相等，元素的积相等，列出方程组求解，但仍然要检验。

拓展变式：含有三个实数的集合{x, ,1}也可以表示为{|x|,x+y,0}则

答案：-1

4.解法1：分析：用列举法表示各集合中的元素，再判断

解：简单列举集合中的元素：

A={ ..., ,...}

B={..., -, , ,,...}

C={..., , ,, ,... }

AB,B=C,即AB=C

答案：B

点拨：这几个集合都是无限集，列举时列举元素个数不能太少，太少了不便于发现规律，会导致判断错误。

解法2：用各集合中元素所具备的特征入手

解：在A中，x= ,aZ; 在B中,x= ,bZ; 在C中,x=,cZ

显然B=C,且AC

答案：B

点拨：(1)形式统一化

(2)熟悉数的整除性，3b-2(bZ),3c+1(cZ)都表示被3除余1的整数，而6a+1(aZ)表示被6除余1的整数。

5.分析：写出元素与Q中元素相加和分别为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个。

答案：B

方法点拨：在处理集合问题时首先看集合的代表元素，由代表元素确定集合的性质。

拓展变式：已知非空集合M{1,2,3,4,5}那么集合M的个数为( )

A 5 B 6 C 7 D 8

答案：D

6.分析：由函数定义域可求得集合A、B对B中含参数的二次不等式要考虑两根大小，再由BA转化为区间的端点值大小关系的不等式，2a1,或a+1-1求出a的范围。

解： (1)由, 或。即

(2)由，

(2)本例中AB=A BAAB=B 注意等价性。

拓展变式：如果将6中的a1条件去掉，请写出集合B。

解析：由题意得(x-a-1)(2a-x)0

所以，[x-(a+1)](x-2a)0

a=1时，不等式0

无实数解，此时B=

a1时，2aa+1不等式为a+1 此时B={X|a+1a1时2a 不等式为2a 此时B={x|2a 提高型题组：

7.分析：由元素确定性可知=0,1或x.

由互异性知0 ,1 确定x值

解：若=0，则x=0，此时集合为{1，0，0}不符合集合中元素的互异性，舍去。

若=1 ，则x=1，-1.

当x=1时，集合为{1，0，1}，舍去;当x=-1时，集合为{1，-1，0}，符合。

若，则x=0或x=1，不符合互异性，都舍去。

综上所述知：x=-1.

点拨：由于集合元素的互异性，因而对求集合中参数的值的问题，必须有检验的意识。

拓展变式：

已知A={a-2, +5a,10}且-3A，求a

解;-3A

a-2=-3，或+5a=-3

a= -1,或a=

但a= -1时，a-2= -3且+5a= -3，与集合中元素的互异性矛盾。

a=

8.分析：集合间的包含、相等关系，关键搞清A、B两集合谁是谁的子集，BA说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是 的情况，同样AB，说明A是B的子集，此时注意B是不是 。A=B说明两集合元素完全相同。

解：(1)由A={x| 0 }

得A={x| - 2 x10 }

因为BA，

所以，(i)若B=

则m+12m-1

即m2,

此时满足BA

(ii)若B则

解得2m3

由(i)(ii)得，m的取值范围是(，3]

(2)若A=B则必有 解得m

即不存在m值使得A=B

(3)若AB，则依题意应有 ，解得 ，故3m4

所以m的取值为

规律技巧总结：

解决两个数集关系问题时，应注意一下几点：

(1)注意空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，解题时不要漏掉这一点。

(2)解决此类问题，避免出错的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求解，这也是数与形的完美结合之所在。

(3)在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循不重不漏的分类原则，然后对每一类情况要给出问题的解答，分类讨论的一般步骤是：确定标准;恰当分类;逐类讨论;归纳结论。

课堂小结：

1.注意集合互异性及空集在解题中的特殊性，如AB，则有A=或A的可能性。

2.从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，若A=B，则A,B互为充要条件。

3.利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用。

反馈型题组：

9.答案：D

解析：由A*B定义写出集合A*B中的所有元素，有0，2，4，所有元素之和是0+2+4=6，选D

点拨：本题是创新型概念理解题，有的人又称为自定义题型，在这里准确理解A*B是解决问题关键，并且又考查了集合元素的互异性，因此又要准确理解集合的含义，明确题目所要解决的问题，从而解决问题。

10.答案：B

解析：可利用特殊值法，令k=-2,-1,0,1,2可得M={..., - ,- , , ,,... } N={...,0, , ,,1,... } 所以MN

解析2：集合M的元素为x=+=(kZ)

集合N的元素为x=(kZ)

而2k+1为奇数，k+2为整数，因此MN

11.答案：A

解析：化简A、B，A={x|012.答案：0或1

解析：由题意可得方程+4x+4=0只有一个解或二重根。当a=0时方程4x+4=0，即x=-1，只有一个解，符合题有意;当a0时，方程+4x+4=0只有一个解需满足=16-16a=0，即a=1时，次方程有二重实根-2，由互异性知A中只有一个元素，适合题意，故所求a的值为0或1.

13.解析：A中不等式的解集应分为三种情况讨论：

(1)若a=0，则A=R

(2)若a0,则A={x| x- }

(3) 若a0，则A={x|- i) 当a=0时，若AB，此种情况不存在。

当a0时，若AB，则

所以a-8

当a0时，若AB，则

所以a 2.

综上知，此时a的取值范围是a-8 或a 2.

ii) 当a=0时，显然BA

当a0时，若BA则

所以- 当a0时，若BA则

所以0综上知，当BA时，- iii)当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B，由i) ii)知，a=2.

规律总结：在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段就是合理运用轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论。分类时要遵循不重不漏的分类原则，然后对每一类情况要给出问题的解答，分类讨论的一般步骤是：确定标准;恰当分类;逐类讨论;归纳结论。

14.(1)解：2 A=-1AAA={2，-1， }

(2)解：设A={a},A, a=,即-a+1=0,无实数解，所以A不能为单元素集合。

(3)证明：aAA, A,即1-A

15.解：A={x|-x},.

(1)若时，，又，。欲使，则

(2)若1的范围是

1.2集合的运算

再现型题组

1. 答案：A

2. 答案：C

解析：A={x|x1} B={x|x2或x1} 显然AB=B AB=A ，故选C

巩固型题组

提高型题组

6.思路点拨：本题考查函数定义域求解和集合关系及运算，解不等式可得定义域，对B中含参数的二次不等式要考虑两个根的大小，再由转化为区间端点什大小关系的不等式或。求出a的范围。

解：(1)由，，x或

即A=

(2)由，得

a1, a+12a,故B=(2a,a+1)

,,或

即或

(2)本例中注意等价性。

7.解：

A=，

，即

8.解析：(1)当时，，

(2)当,,①当，即时，满足;②当，即a0时，要使，需

课堂小结

1. 进行集合的运算须明确集合的元素

集合的运算是指求集合的子集，交集，并集，补集。在进行集合运算时，首先要明确元素是什么，全集是什么，保证所有元素都是全集中的元素。这里容易出现的错误之一是混淆一元数集与平面点集之间的概念，错将一元数集当作二元点集，如将{x|y=x-2,yR}理解为直线上y=x-2点的集合。

2. 利用集合的不同表示形式进行运算。

集合概念与运算建立后，不可避免地出现了集合语言与文字语言，图形语言，符号语言的转化问题。一般地，不等式解集的集合运算多借助数轴进行，一般集合可用Venn图加以表示，点集的几何意义为函数图象或方程曲线，所以要树立借助图形解决问题的意识。

3. 注意将两个集合间的间接关系化为直接关系。

例如：(1)AB=B

(2)AB= B

(3)A=B 且

(4)AB

(5)AB

4.注意分类讨论思想方法的应用

在集合的关系中时刻渗透分类讨论的思想。

如;那么A可能为:① ② ③ A=B，另外对于含参的方程和不等式更应该分类讨论。

5.注意韦恩图在集合运算中的重要应用。

反馈型题组：

9.解析：依题意，该图形中阴影部分表示的集合应该是,而= ，于是，因此，选C

评价探究：新课标特别指出能使用韦恩图表达集合的关系及运算，将对韦恩图的要求提高到一个更高的层次，因此我们必须注意韦恩图在表达集合关系和运算中的重要作用。应结合交集、并集、补集等的定义进行理解。

10.解析：用区间的长度来刻画集合，使长度的概念有了更深层次的内涵。

由已知可得 即，即。取字母m的最小值0，字母n的最大值1，可得。= 此时得集合的长度为，故应选C。

评价探究：以集合为背景将其他的长度等概念交汇于命题之中，是高考集合命题的一大特色，探究解题时紧扣定义及其相互间的联系，巧妙应用特殊化思想可以使解题的思路更为简捷。

11.解析：依题意：x,y的取值应为：x=1,y=3;

x=1,y=4; x=2,y=3; x=2,y=4

从而

故所有元素乘积：12*20*30*48 =345600.

12.解析：法1：设全集为高三(1)班全体同学的集合，集合M、N分别是数学、语文得优的同学的集合，作韦恩图示，则各部分集合中所含元素个数分别如图所示，则有： (20-x)+x+(15-x)+20=45 解得x=10.

即两门全优的人数是10人。

法2。公式法：设P集合的元素个数用n(P)表示，则,数，

13.解析：(1),,由，

(2)由知对恒成立。

. 此时.

1.3命题、基本逻辑联结词与量词答案与提示

再现型题组：

1.解析(1)

(2) 1是奇数， p是真命题，又 1不是质数，

q是假命题;。

(3)

成立

(4)显然p：5为真命题，q：27不是质数为真命题;。

(5)

;

。

基础知识聚焦：判断含有逻辑联结词或且非的命题的真假，(1)弄清构成它的命题p,q的真假(2)弄清结构形式(3)据真值表判断构成新命题的真假。

2.解析：(1)：存在一个有理数不是实数，为假命题，属特称命题

(2)：所有的三角形都不是直角三角形，为假命题，属全称命题

(3)：有一个二次函数的图像与y轴不相交，为假命题，属特称命题

(4)：，为真命题，属特称命题

基础知识聚焦：对全称命题的否定，在否定判断词时，还要否定全称量词为特称量词;对特称命题的否定，在否定判断词时也要否定存在量词。

4.解：上单调递增;又不等式恒成立

而命题p且q为假，p或q为真，那么p,q中有且只有一个为真，一个为假.

(1)若p真q假，则

(2)若q真p假,则

所以的取值范围是。

基础知识聚焦：(1)含有逻辑关系词的命题要先确定构成命题的命题的真假，求出此时参数成立的条件;

(2)其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件;

提高型题组

5.解析：若真，则，若假，则，若Q真，由;

若Q假，则.

又p和q有且只有一个正确，当p真q假时，;当p假q真时, 综上得

课堂小结：本节课重在考察命题转化，逻辑推理能力，将量词与不等式或数列等其他章节的内容联系起来考察，是需要我们注意的

反馈型题组：答案

7.C 8.D 9.D 10.A 11.D 12.C

13.解析: p且q为假，p,q至少有一个为假命题

又非p为假，q为真，从而可知p为假.由p为假且q为真可得即 故x的取值为-1，0，1，2

1.4 充分条件、必要条件与四种命题答案与提示

再现型题组

1. 解：(1)逆命题：若方程有实数根，则q1,是假命题。

否命题：若，则方程无实根，是假命题。

逆否命题：若方程无实根，则，是真命题。

(2)逆命题：若a=0或b=0,则ab=0是真命题，

否命题：若，则且，是真命题。

逆否命题：若且，则，是真命题

(4) 逆命题：若x,y全为0，则，是真命题。

否命题：若，则x,y不全为0，是真命题。

逆否命题：若x,y不全为0，则，是真命题。

基础知识聚集：写出一种命题的逆命题，否命题，逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，一般地说命题的四种形式之间有如下关系：

(1) 互为逆否的两个命题是等效的(同真同假)，因此，证明原命题也可以改正它的逆否命题

(2) 互逆或互否的两个命题是不等效的。

2. 解：(1)当时，例如p=3则方程无实根，而方程有实根，必有或，可推出，故A是B的必要不充分条件。

(2)若圆与直线相切，圆心到直线的距离等于r，即，所以;反过来，若，则成立，说明圆与直线相切，故A是B的充分必要条件。

基础知识聚集：对于涉及充分必要条件判断的问题，必须以准确、完整地理解充分必要条件的概念为基础，有些问题需转化为等价命题后才容易判断。

巩固型题组：

3解：法一：由

得

：

由得

：

是的必要而不充分条件

解得

法二：是的必要而不充分条件

q是p的必要而不充分条件

p是q的充分而不必要条件

由得(m0)

q:Q={x|}

又由得

4.答案：(1)(2)(3)(4)

解析：(1)的否命题为若，则x,y全不为0，正确

(2)由其逆否命题全等三角形的面积相等正确知原命题正确

(3)因为有实根的条件为，即原命题正确，故其逆否命题正确

方程y=kx+b表示直线与k是否为0无关。即时方程y=kx+b表示直线，k=0时方程y=kx+b也表示直线，因此(4)正确。

提高型题组：

5.解(1)原命题是真命题;

逆命题：若方程有实根，则，为真命题。

否命题：若q1，则方程无实根，为真命题;

逆否命题：若方程无实根，则q1，为真命题;

命题的否定：若，则方程无实根，为假命题。

(2)原命题是真命题;

逆命题：若x+y是偶数，则x,y都是奇数，是假命题;

否命题：若x,y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题;

逆否命题：若x+y不是偶数，则x,y不都是奇数，是真命题。

命题的否定：x,y都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题。

(3)原命题是真命题

逆命题：若x=0或y=0,则xy=0，是真命题。

否命题：若，则，是真命题。

逆否命题：若，则，是真命题，

命题的否定：若xy=0，则，是假命题。

(4)原命题是真命题

逆命题：若x,y全为0，则，为真命题

否命题：若，则x,y不全为0，为真命题

逆否命题：若x,y不全为0，则，为真命题

b要注意区别否命题与命题的否定：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定。

C互为逆否关系的命题是等价命题：否命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。所以(1)当判断一个命题的真假有困难时，可以判断它的逆否命题的真假;(2)原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题的个数可能是0个、2个、4个。

6. 解：(1)必要性：

由已知得，线段AB的方程为y=-x+3()

由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，

所以方程组(*)有两个不同的实数解

消元得：()

设则有

解得

(2)充分性

当时

方程有两个不等的实根，，且，

方程组(*)有两组不同的实数解。

(3) 本题考查线段与抛物线的位置关系，属解析几何中的重点与充要条件知识的交汇，也是高考的一个重要考查内容。在求解这类问题时，除了直线与二次曲线相交的位置关系用判别式法求解外，还需要建立二次函数模型，通过二次函数的图象与坐标交点的实根分布列出不等式组求解。

课堂小结

1.应用充分条件、必要条件、充要条件时须注意的问题

充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，再结合具体问题进行判断是，要注意以下几点：

(1)确定条件是什么，结论是什么;

(2)尝试从条件推结论，结论推条件;

(3)确定条件是结论的什么条件;

(4)要证明命题的条件是充要的，就即要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立。证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性

2.四种命题及相互关系

(1)关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：

第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题;

第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题;

第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题;

(2)四种命题的相互关系

四种命题以及它们间的关系

在判断它们之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，在比较每个命题的条件与结论之间的关系。

(3)四种命题的真假判断

1.原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假。

2.原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假。

3.原命题为真，它的逆否命题一定为真。

4.互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假。

综合上述四条可知，在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个。

反馈型题组：

7 D 8 D 9 C 10 B

11解：

(1)当，即时，

(2)当即时

(3)当即时，

条件p是条件q的充分条件

当时，，

当 时，显然不成立

当时，

a的取值范围为{a|}

1.5 合情推理与演绎推理(解答部分)

再现型题组

1 B

基础知识聚集：本题考查合情推理中的归纳猜想。

2 C

基础知识聚集：本题考查合情推理中的类比。

3 C

基础知识聚集：本题考查演绎推理的三段论

4解析：结合数列进行分析归纳。

(1) 第四行：17，18，20，24

第五行：33，34，36，40，48

(2) 设n为的下标，观察每行第一个元素下标，三角形数表第一行第一个元素下标是1，

第二行第一个元素下标为2=2(2-1)/2+1

第三行第一个元素下标为4=3(3-1)/2+1

......

第t行第一个元素下标为，该元素为，由此判断所在行。

5，解析：本题由已知前两组类比可得到如下信息：、(1)平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象;(2)三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象;(3)三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象;(4)三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象;(5)三角形的面积公式中的二分之一与三棱锥的体积公式中的三分之一是类比对象。

由以上分析可知：

故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一。

本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略。

6.解析：以函数、一元二次方程、数列知识求解。

(1)由解得方程的两根为

(2) .

7、证明 任取

反馈型题组

10、答案B分析n=1 时可以先排除AB，然后再当n=2 时验证，或构造一个等比数列.

11、答案B 分析 EFGH是平行四边形，由于平行四边形两条对角线的平方和等于四边平方和得：

14、答案:

分析本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据三角形中两边之和大于第三边，就可否定从而得出三种形态，再由这三类面构成满足提设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为故应该填 中的一个即可。

课堂小结(置于反馈题组答案前)

通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析方法，认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本方法;体会演绎推理在实际证明中的应用价值和证明的一般过程

1、 归纳推理的一般步骤

2、 类比推理的一般步骤

3、 三段论是演绎推理的一般模式

1.6 直接证明与间接证明(解答部分)

再现型题组

提示与答案

1、 直接证明，间接证明，分析法，综合法，反证法

2、 已知条件和某些数学定义，公理，定理;一系列的推理论证推导出所要证明的结论成立。

3、 要证明的结论，它成立的充分条件，判定一个明显成立的条件

4、 原命题不成立，正确的推理，得出矛盾，假设错误，证明了原命题成立。

知识聚焦 用分析法证明不等式时，不要把逆求错误地作为逆推，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充分条件，也就是说，分析法的思维时逆向思维，因此，在证题时，应正确使用要证、只需证这样的连接关键词。

知识聚焦(1)用反证法证题时，首先要高清反证法证题的方法，其次注意反证法时在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词含至多、至少等词的问题中常用。

(2)使用反证法进行证明的关键时在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等。

巩固型题组

5.证明

(1) 当 时，，

所以 故

(2) 当 为负值时，不妨设

由于，所以，又n时偶数，

所以，又

故

即

综合 (1)(2) 知成立

点评 作差法、作商法统称为比较法，它是证明不等式的最基本方法。

6.证明：。要证，只需证：，

7.证法一：假设三式同时大于，即，，

，三式同向相乘得，又同理，

，这与假设矛盾，故原命题得证。

证法二：假设三式同时大于，，

同理 三式相加得，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题正确

提高型题组：

8.证明：(1)方法1：=

=

9、证明：方法1：(综合法)

因可推知，即。

故得与中至少有一个不小于零。

可知，原命题成立。

方法2：(反证法)

假设两方程都没有实数根，则有

课堂小结：

1、 综合法特点是：由因推出结果;分析法特点是：由结果追溯到这一结果的原因。在证明问题时常把综合法和分析法结合起来，根据条件的结构特点转化结论，得到中间结论Q;根据结论的特点转化条件，得到中间结论P，若由Q可以推出P成立就可以证明结论成立。

2、 反证法在高考中的要求不太高，但是这种正难则反的思维方式要引起足够的重视，在解决问题时要注意从多方面、多渠道考虑，提高解决问题的灵活性。

反馈型题组

10、D

11、C

12、

14、解(1)设等差数列的公差为的公差为

由得,即.

所以，即.

所以

15、解：(1)任取不妨设，则，且

所以，又因为

所以

于是

故函数在为增函数。

(2)设存在，满足，则

又，所以，即

与假设矛盾

故没有负数根

16、解：

(1)设时函数图像上任意两个不同的点，则，且，

即，故直线AB不平行于x轴。

(2)设A是函数图像上的任意一个点，则且，

否则有，得2=1，这是不可能的。因此

由式得：

此式表示：点A关于直线y=x的对称点在函数图像上，由于A的任意性，知函数的图像关于直线y=x成轴对称图形。

第一章 集合与逻辑 推理与证明单元综合检测题答案与提示

一、 选择题

1、C 2、A 3、A 4、C 5、B 6、B

二、填空题

7、1 8、(2，3) 9、充分不必要 10

三、解答题

11、证明：假设 都不少于2，则

因为，所以，

即，这与已知

相矛盾，故假设不成立

综上中有一个小于2

12、解：P:

Q：

(1) 若P假Q真，则

(2) 若P真Q假，则