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高二数学《等差数列》教学设计

2013-08-07 收藏

 

【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高二数学《等差数列》教学设计 ,希望能给大家带来帮助!

(一)教学目标

1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。

(二)教学重、难点

重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。

难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

(三)学法与教学用具

学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点,推导出等差数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

教学用具:投影仪

(四)教学设想

[创设情景]

上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。

[探索研究]

由学生观察分析并得出答案:

(放投影片)在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列:0,5,____,____,____,____,……

2000年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,15.5,13,10.5,8,5.5

我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期存入10 000元钱,年利率是0.72%。那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是:

时间年初本金(元)年末本利和(元)

第1年10 00010 072

第2年10 00010 144

第3年10 00010 216

第4年10 00010 288

第5年10 00010 360

各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360。

思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,…… ①

48,53,58,63 ②

18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③

10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360 ④

看这些数列有什么共同特点呢?

(由学生讨论、分析)

引导学生观察相邻两项间的关系,得到:

对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 5 ;

对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 5 ;

对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 -2.5 ;

对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 72 ;

由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。

[等差数列的概念]

对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征,尝试着给等差数列下个定义:

等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列,它们的公差依次是5,5,-2.5,72。

提问:如果在

 

 

中间插入一个数A,使

 

,A,

 

成等差数列数列,那么A应满足什么条件?

由学生回答:因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由定义可以知道:

A-a=b-A

所以就有

 

由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做a与b的等差中项。

不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列:1,3,5,7,9,11,13…中5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。

看来,

 

从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q则

 

[等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列

 

的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。

由学生经过分析写出通项公式:

① 这个数列的第一项是5,第2项是10(=5+5),第3项是15(=5+5+5),第4项是20(=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

 

② 这个数列的第一项是48,第2项是53(=48+5),第3项是58(=48+5×2),第4项是63(=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

 

③ 这个数列的第一项是18,第2项是15.5(=18-2.5),第3项是13(=18-2.5×2),第4项是10.5(=18-2.5×3),第5项是8(=18-2.5×4),第6项是5.5(=18-2.5×5)由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

 

④ 这个数列的第一项是10072,第2项是10144(=10172+72),第3项是10216(=10072+72×2),第4项是10288(=10072+72×3),第5项是10360(=10072+72×4),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

 

⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项

 

和公差d,它的通项公式是什么呢?

引导学生根据等差数列的定义进行归纳:

(n-1)个等式

 

所以

 

 

 

……

思考:那么通项公式到底如何表达呢?

 

 

 

……

得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以

 

为首项,d为公差的等差数列

 

的通项公式为:

 

也就是说,只要我们知道了等差数列的首项

 

和公差d,那么这个等差数列的通项

 

就可以表示出来了。

选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式:

(迭加法):

 

是等差数列,所以

 

 

 

……

 

两边分别相加得

 

所以

 

(迭代法):

 

是等差数列,则有

 

 

 

 

 

……

 

所以

 

[例题分析]

例1、⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.

⑵-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?

分析:⑴要求出第20项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差;

⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。

解:⑴由

 

=8,d=5-8=-3,n=20,得

 

⑵由

 

=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为

 

由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。

例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于

 

 

、d、n(独立的量有3个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数列中的项。

(放投影片)例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?

解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列

 

来计算车费.

 

=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费

 

答:需要支付车费23.2元。

例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。

(放投影片)思考例题:例3 已知数列

 

的通项公式为

 

其中p、q为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?

分析:判定

 

是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看

 

(n>1)是不是一个与n无关的常数。

解:取数列

 

中的任意相邻两项

 

(n>1),

求差得

 

它是一个与n无关的数.

所以

 

是等差数列。

课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少?

这个数列的首项

 

。由此我们可以知道对于通项公式是形如

 

的数列,一定是等差数列,一次项系数p就是这个等差数列的公差,首项是p+q.

例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。

[探究]

引导学生动手画图研究完成以下探究:

⑴在直角坐标系中,画出通项公式为

 

的数列的图象。这个图象有什么特点?

⑵在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列

 

与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析:⑴n为正整数,当n取1,2,3,……时,对应的

 

可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点;

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列

 

的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集,是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。

该处还可以引导学生从等差数列

 

中的p的几何意义去探究。

[随堂练习]

例1之后:课本45页“练习”第1题;

例2之后:课本45页“练习”第2题;

[课堂小结]

本节主要内容为:

①等差数列定义:即

 

(n≥2)

②等差数列通项公式:

 

 

(n≥1)

推导出公式:

 

(五)评价设计

1、已知

 

是等差数列.

 

是否成立?

 

呢?为什么?

 

是否成立?据此你能得出什么结论?

 

是否成立?据此你又能得出什么结论?

2、已知等差数列

 

的公差为d.求证:

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