2012-12-25
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正难则反,巧用反证法证明不等式
反证法是根据“正难则反”的原理,即如果正面证明有困难时,或者直接证明需要分多 种情况而反面只有一种情况时,可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用, 而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。
要证明不等式 A>B,先假设 A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而 否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等 特征字眼,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效。
例 1. 设 a ,b ,c ,d 均为正数,求证:下列三个不等式①a +b
( a + b )( c + d ) < ab + cd ,③( a + b ) cd < ab ( c + d ) 中至少有一个不正确。
证明:假设不等式①、②、③都成立,因为 a,b,c,d 都是正数,所以由不等式①、 ②得,( a + b ) 2 < ( a + b )( c + d ) < ab + cd 。
由不等式③得,( a + b ) cd < ab ( c + d ) ≤ ( a 2+ b) 2 ·( c + d ) 因为a + b > 0 ,所以4cd < ( a + b )( c + d )
综合不等式②,得4 cd < ab + cd ,3cd < ab ,即cd < 13 ab
由不等式④,得( a + b ) 2 < ab + cd < 43 ab ,即a 2 + b 2 < − 23 ab ,显然矛盾。
∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。
例 2. 已知a + b + c > 0 , ab + bc + ca > 0 , abc > 0,求证:a > 0 , b > 0 ,c > 0 。
证明:由abc > 0 知a ≠0,假设a < 0 ,则bc < 0
又因为a + b + c > 0 ,所以b + c > −a > 0 ,即a (b + c) < 0
从而ab + bc + ca = a (b + c ) + bc < 0 ,与已知矛盾。
∴假设不成立,从而a > 0
同理,可证b > 0 ,c > 0 。
例 3. 若 p > 0 ,q > 0 ,p 3 + q 3 = 2 ,求证: p + q ≤ 2 。
证明:假设 p + q > 2 ,则( p + q)3 > 8 ,即 p 3 + q 3 + 3 pq ( p + q) > 8 。
因为 p 3 + q 3 = 2 所以 pq( p + q) > 2
故 pq ( p + q ) > 2 = p 3 + q 3 = ( p + q )( p 2 − pq + q 2 )
又 p > 0 ,q > 0 ,即 p + q > 0
∴ pq > p 2 − pq + q 2 ,即( p − q)2 < 0 ,不成立。
故假设不成立,即 p + q ≤ 2 。大于 1。
例 3. 若 p > 0 ,q > 0 ,p 3 + q 3 = 2 ,求证: p + q ≤ 2 。
证明:假设 p + q > 2 ,则( p + q)3 > 8 ,即 p 3 + q 3 + 3 pq ( p + q) > 8 。
因为 p 3 + q 3 = 2 所以 pq( p + q) > 2
故 pq ( p + q ) > 2 = p 3 + q 3 = ( p + q )( p 2 − pq + q 2 )
又 p > 0 ,q > 0 ,即 p + q > 0
∴ pq > p 2 − pq + q 2 ,即( p − q)2 < 0 ,不成立。
故假设不成立,即 p + q ≤ 2 。
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