数学必修1(苏教版)

2．1　函数的概念和图象

2．1.2　函数的表示方法

要表示一种函数关系，可以有很多的方式，最直截了当的就是一一列出变量之间的所对应的数值．这种表示方法的好处就是一目了然，但不能容易地让人理解变量之间的对应规律．

要想能容易地让人理解变量之间的对应规律，可以使用图示的方式．用图来表示变量之间的依赖关系，可以很直观地说明这种依赖关系的很多性质．图示的缺点就是不能精确地给出数值，也不能精确地表达函数的性质．

最精确的表达方式是给出函数关系的解析表达式．有了解析表达式，就可以对已知数值进行确定的数学计算，从而得到未知量的精确数值．更进一步，通过对解析表达式的数学分析，可以得出函数性质的精确的表达．

这几种方法各有千秋，这是本节要学习的内容。

基础巩固

1．如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()

解析：当02时，S＝14x2，排除B、C；

当2＜x3时，S＝1231－12(x－3)2＝12(－x2＋6x－6)；当x＞3时，S＝1231＝32.

答案：D

2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s，横轴表示该同学出发后的时间t，则比较符合该同学行进实际的是()

解析：依题意：s表示该同学与学校的距离，t表示该同学出发后的时间，当t＝0时，s最远，排除A、B，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．选D.

答案：D

3．g(x)＝1－2x，f(g(x))＝1－x2x2(x0)，则f12＝()

A．1 B．3 C．15 D．30

解析：由g(x)＝12得：1－2x＝12x＝14，代入1－x2x2得：

＝15.

答案：C

4．定义两种运算：a b＝a2－b2，ab＝a－b2，则函数f(x)＝ 的解析式为()

A．f(x)＝4－x2x，x[－2,0)(0,2]

B．f(x)＝x2－4x，x(－，－2][2，＋)

C．f(x)＝－x2－4x，x(－，－2][2，＋)

D．f(x)＝－4－x2x，x[－2,0)(0,2]

解析：由题知2?x＝4－x2，

x2＝x－22，则f(x)＝4－x2x－22－2，

又4－x20，－22，

则f(x)＝4－x22－x－2＝－4－x2x，－22，且x0.

答案：D

5．已知函数f(n)＝n－3，n10，f[fn＋5]，n10(nN*)，则f(5)＝()

A．5 B．6

C．7 D．8

解析：f(5)＝f[f(10)]＝f(7)＝f[f(12)]＝f(9)＝f[f(14)]＝f(11)＝11－3＝8.

答案：D

6．已知函数f(x)＝x2＋3x，x0，2，x0，则方程f(x)＝x的解的个数为________．

解析：x0时，x＝f(x)＝2；x0时，x2＋3x＝xx＝0或－2.

答案：3个

7．已知正方形的周长为x，它的外接圆半径为y，则y关于x的解析式是________．

答案：y＝28x

8．若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24(a，b为常数)，则5a－b＝________.

解析：∵f(x)＝x2＋4x＋3，

f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3

＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3.

又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，

a2＝1，2ab＋4a＝10，b2＋4b＋3＝24a＝1，b＝3或a＝－1，b＝－7.

5a－b＝2.

答案：2

9．已知f1＋x1－x＝1－x21＋x2，求f(x)的解析式．

解析：令1＋x1－x＝t，则x＝t－1t＋1，

f(t)＝ ＝2tt2＋1，

f(x)＝2xx2＋1.

由于t＝1＋x1－x＝－1＋21－x－1，f(x)＝2xx2＋1(x－1)．

10．已知二次函数满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)．

解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，

则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c

＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c.

∵f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，

9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5.

比较两端系数，得

9a＝9，6a＋3b＝－6，a＋b＋c＝5a＝1，b＝－4，c＝8.

f(x)＝x2－4x＋8.

11．已知二次函数f(x)的图象经过A(0,2)，B(1.0)，C(3,2)三点，求f(x)的解析式．

解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，把A，B，C三点坐标代入得c＝2，a＋b＋c＝0，9a＋3b＋c＝2a＝1，b＝－3，c＝2.

f(x)＝x2－3x＋2.

能力提升

12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()

A．y＝x10 B．y＝x＋310

C．y＝x＋410 D．y＝x＋510

解析：当x＝56时，y＝5，排除C，D；当x＝57时，y＝6，排除A.只有B正确．

答案：B

13．任取x1、x2[a，b]且x1x2，若fx1＋x22＞12[f(x1)＋f(x2)]，则f(x)在[a，b]上是凸函数，在以下图象中，是上凸函数的图象是()

解析：只需在图形中任取自变量x1，x2，分别标出它们对应的函数值及x1＋x22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．

答案：D

14．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝Cx，xA，CA，xA，A，C为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是()

A．75,25 B．75.16

C．60,25 D．60,16

解析：由条件可知，xA时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f(4)＝C4＝30C＝60，f(A)＝60A＝15A＝16.

答案：D

15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：

x 1 2 3

f(x) 1 3 1

x 1 2 3

g(x) 3 2 1

则f[g(1)]的值为________，满足f[g(x)]g[f(x)]的x值是________

解析：f[g(1)]＝f(3)＝1，

当x＝1时，f[g(1)]＝f(3)＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不满足；

当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，满足；

当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝1，不满足．

x＝2.

答案：1　2

16．设函数f(x)＝x＋12，x＜1，4－x－1，x1，则使得f(x)1的自变量x的取值范围为________．

解析：x＜1时，f(x)(x＋1)2x－2或xx－2或0x＜1；x1时，f(x)4－x－1x－1x110.

x－2或010.

答案：(－，－2][0,10]

17．定义运算a*b＝a，ab，b，a＞b，则对xR，函数f(x)＝x*(2－x)的解析式为f(x)＝________.

答案：x，x12－x，x＞1

18．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下表所示：

t/天 5 15 20 30

Q/件 35 25 20 10

(1)根据提供的图象(图甲)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；

(2)在所给直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定一个日销售量Q与时间t的函数关系式；

(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．(日销售金额＝每件的销售价格日销售量)

解析：(1)根据图象，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为：

P＝t＋20，0＜t＜25，tN，－t＋100，2530，tN.

(2)描出实数对(t，Q)的对应点．

从图象发现：点(5,35)，(15,25)，(20,20)，(30,10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l：Q＝kt＋b.

由点(5,35)，(30,10)确定出l的解析式为Q＝－t＋40，通过检验可知，点(15,25)，(20,20)也在直线l上．

日销售量Q与时间t的一个函数关系式为

Q＝－t＋40(0＜t30，tN)．

(3)设日销售金额为y(元)，

则y＝－t2＋20t＋800，0＜t＜25，tN，t2－140t＋4000，2530，tN，

因此y＝－t－102＋900，0＜t＜25，tN，t－702－900，2530，tN.

若0＜t＜25(tN)，则当t＝10时，ymax＝900；

若2530(tN)，则当t＝25时，ymax＝1 125.

因此第25天时销售金额最大．