数列中裂项求和的几种常见模型

数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。

模型一：数列 是以d为公差的等差数列，且 ，则

例1已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前n项和为 ，点 均在函数 的图像上。

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）设 ， 是数列 的前n项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数m； （2006年湖北省数学高考理科试题）

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

又因为点 均在函数 的图像上，所以 ＝3n2－2n.

当n2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－ ＝6n－5.

当n＝1时，a1＝S1＝312－2＝61－5，所以，an＝6n－5 （ ）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知 ＝ ＝ ，

故Tn＝ ＝ ＝ （1－ ）.

因此，要使 （1－ ） （ ）成立的m,必须且仅须满足 ，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10..

例2在xoy平面上有一系列点 ，…， ，…，（nN*），点Pn在函数 的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切. 若 .

（I）求数列 的通项公式；

（II）设圆Pn的面积为

解：（I）圆Pn与Pn+1彼此外切，令rn为圆Pn的半径，

两边平方并化简得

由题意得，圆Pn的半径

为首项，以2为公差的等差数列，

所以

（II） ，

所以，

模型二：分母有理化，如：

例3已知 ， 的反函数为 ，点 在曲线 上 ，且

(I)证明数列{ }为等差数列；

(Ⅱ)设 ,记 ，求

解(I)∵点An( )在曲线y=g(x)上(nN+)，

点( )在曲线y=f(x)上(nN+) ,并且an0

， ，数列{ }为等差数列

(Ⅱ)∵数列{ }为等差数列，并且首项为 =1，公差为4，

=1+4（n1）， ，∵an0， ，

bn＝ = ,

Sn＝b1＋b2+…＋bn= =

例4设 ，则不超过 的最大整数为　。

(2008年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)

解： 　

,

,

,

,

不超过 的最大整数为 。

模型三：2n (2n+1－1)(2n－1) = 12n－1 － 12n+1－1

例5设数列 的前 项的和 ，n=1,2,3,….

（Ⅰ）求首项 与通项 ；

（Ⅱ）设 ，n=1,2,3,…，证明：

（2006年全国数学高考理科试题）

. 解: (Ⅰ)由 Sn=43an－132n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= 43a1－134+23 所以a1=2.

再由①有 Sn－1=43an－1－132n+23, n=2,3，4,…

将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= 43(an－an－1)－13(2n+1－2n),n=2,3, …

整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,

即an+2n=44n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= 43(4n－2n)－132n+1 + 23 = 13(2n+1－1)(2n+1－2)

= 23(2n+1－1)(2n－1)

Tn= 2nSn = 322n (2n+1－1)(2n－1) = 32(12n－1 － 12n+1－1)

所以, = 32 12i－1 － 12i+1－1) = 32(121－1 － 12i+1－1) 32

模型四： ，且 ，则

例6设函数 的图象在 处的切线平行于直线 .记 的导函数为 .数列 满足： , .

(Ⅰ)求函数 的解析式;

(Ⅱ)试判断数列 的增减性,并给出证明;

(Ⅲ)当 时,证明: .

解：（Ⅰ）∵函数 的导函数为 ，由于在 处的切线平行于 ， ，

(Ⅱ)∵ , ,∵ ,故 ,所以

,所以 是单调递增.

(Ⅲ) ∵ , = ,

, , …

令

当 时,

例7已知数列 满足 ， 满足 ，证明： 。

(2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)

证明：记 ，则 。

而 。

因为 ，所以 。

从而有 。 （1）

又因为 ，所以 ，

即 。从而有 。 （2）

由（1）和（2）即得 。 综合得到 。

左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。

以上我们通过几个典型问题的解析，总结了四类裂项求和的常见模型，可以让我们更清楚的认识到裂项相消的来龙去脉，而这些模型是近几年高考中普遍采用的，要求我们注重培养学生的化归、转化的能力。