数学必修1(苏教版)

2．1　函数的概念和图象

2．1.1 函数的概念、定义域、值域和图象

“神舟七号”载人航天飞船离地面的距离随时间的变化而变化；上网费用随着上网的时间变化而变化；近几十年来，出国旅游人数日益增多，考古学家推算古生物生活的年代……这些问题如何描述和研究呢？

基础巩固

1．下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是()

答案：B

2．下列四组中，f(x)与g(x)表示同一个函数的是()

A．f(x)＝4x4，g(x)＝(4x)4

B．f(x)＝x，g(x)＝3x3

C．f(x)＝1，g(x)＝1x0，1x0

D．f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝x－2

解析：选项A、C、D中两个函数的定义域不相同．

答案：B

3．已知函数f(x)＝2x，x0，x＋1，x0，且f(a)＋f(1)＝0，则a＝()

A．－3 B．－1

C．1 D．3

解析：当a0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0a＝－1，与a0矛盾；当a0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0a＝－3，适合题意．

答案：A

4．定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为()

A．[2a，a＋b] B．[0，b－a]

C．[a，b] D．[－a，a＋b]

答案：C

5．已知f(x)＝x2，x0，fx＋1，x0，则f(2)＋f(－2)的值为()

A．6 B．5

C．4 D．2

解析：f(2)＝22＝4，f(－2)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(0＋1)＝f(1)＝12＝1，

f(2)＋f(－2)＝4＋1＝5.

答案：B

6．函数y＝x＋1x的定义域为________．

解析：利用解不等式组的方法求解．

要使函数有意义，需x＋10，x0，解得x－1，x0.

原函数的定义域为{x|x－1且x0}．

答案：{x|x－1且x0}

7．函数f(x)＝11－2x的定义域是________

解析：由1－2xx12.

答案：xx12

8．已知f(x)＝3x＋2，x1，x2＋ax，x1.若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.

解析：∵f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a.

4＋2a＝4aa＝2.

答案：2

9．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则f(x＋2)的定义域是________，值域是________．

解析：∵f(x)的定义域为[0,1]，0x＋21，

－2－1.即f(x＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍然为[1,2]．

答案：[－2，－1]　[1,2]

10．对于每一个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4三个函数中的最小值，则f(x)的最大值是________．

解析：在同一坐标系中作出如下图象：图中实线部分为f(x)，则A的纵坐标为f(x)的最大值，

f(x)max＝83.

答案：83

11．方程x2－|x|＋a－1＝0有四个相异实根，求实数a的取值范围．

解析：原方程可化为x2－|x|－1＝－a，画出y＝x2－|x|－1的图象．

∵x0时，y＝ －54.

x＜0时，y＝ －54.

由图象可知，只有当－54－1时，即a1，54时，方程才有四个相异实根．

a的取值范围是1，54.

能力提升

12．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()

A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x

解析：∵|2x|＝2|x|，A满足；2x－|2x|＝2(x－|x|)B满足；－2x＝2(－x)，D满足；2x＋12(x＋1)；C不满足．

答案：C

13．(2013全国卷)已知f(x)的定义域为(－3,0)，则函数f(2x－1)的定义域为()

A．(－1,1) B.－1，12

C．(－1,0) D.12，1

解析：∵f(x)的定义域(－3,0)，－32x－1－112.

答案：B

14．如左下图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入圆柱形桶中，H是圆锥形漏斗中液面下降的距离，则H与下降时间t(分钟)的函数关系用图象表示只可能是()

答案：B

15．已知函数f(x)＝x21＋x2，那么f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋f(4)＋f14＝______.

解析：f(x)＝x21＋x2，f1x＝1x2＋1，

f(x)＋f1x＝1.

f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋f(4)＋f14＝12＋1＋1＋1＝72.

答案：72

16．已知函数f(3x＋2)的定义域是(－2,1)，则函数f(x2)－fx＋23的定义域为________

解析：∵f(3x＋2)的定义域为(－2,1)，

－21，－43x＋25.

－45，－4x＋235.

－55.

答案：(－5，5)

17．已知a－12，0，函数f(x)的定义域是(0,1]，求g(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)＋f(x)的定义域．

解析：由题设得

0x＋a1，0x－a1，01，即－a1－a，a1＋a，01，

∵－120，

012，11－a32，121.

不等式组的解集为－a1＋a.

g(x)的定义域为(－a,1＋a]．

18．已知m，nN*，且f(m＋n)＝f(m)f(n)，f(1)＝2.求f2f1＋f3f2＋…＋f2012f2011的值．

解析：∵f(1)＝2，f(m＋n)＝f(m)f(n)(m，nN*)，

对于任意xN*，有

f(x)＝f(x－1＋1)＝f(x－1)f(1)＝2f(x－1)．

fxfx－1＝2，则f2f1＋f3f2＋…＋f2 012f2 011＝2＋2＋…＋2＝2 0112＝4 022.