第二章　平面向量

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若向量a，b，c满足a∥b，且ac，则c(a＋2b)＝()

A．4 B．3

C．2 D．0

【解析】　∵ac，ac＝0.又∵a∥b，可设b＝a，则c(a＋2b)＝c(1＋2)a＝0.

【答案】　D

2．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，3)，则向量a与b的夹角是()

A. B.

C.2 D.56

【解析】　cos〈a，b〉＝ab|a||b|＝－112＝－12.

〈a，b〉＝23.

【答案】　C

3．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，＝a＋b，＝a－b，且∥，则x的值为()

A.12 B．－12

C.16 D．－16

【解析】　∵＝(1＋x,3)，＝(1－x,1)，∥.

(1＋x)1－3(1－x)＝0，x＝12.

【答案】　A

4．已知|a|＝2|b|，|b|0，且关于x的方程x2＋|a|x＋ab＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()

A．[0，6] B．[]

C．[3，23] D．[]

【解析】　＝|a|2－4ab＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉0.

cos〈a，b〉12，〈a，b〉[0，]．

3〈a，b〉.

【答案】　B

5．已知|a|＝1，|b|＝6，a(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是()

A. B.

C. D.2

【解析】　∵a(b－a)＝ab－a2＝2，|a||b|cos －|a|2＝2，

16cos －1＝2，cos ＝12，又0，＝3，故选C.

【答案】　C

6．已知OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上一点P使APBP有最小值，则P点的坐标是()

A．(－3,0) B．(3,0)

C．(2,0) D．(4,0)

【解析】　设P(x,0)，AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，APBP＝(x－2)(x－4)＋2

＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，

当x＝3时，APBP取最小值，此时P(3,0)．

【答案】　B

7．若a，b是非零向量，且ab，|a||b|，则函数f(x)＝(xa＋b)(xb－a)是()

A．一次函数且是奇函数

B．一次函数但不是奇函数

C．二次函数且是偶函数

D．二次函数但不是偶函数

【解析】　∵ab，ab＝0，

f(x)＝(xa＋b)(xb－a)＝x2(ab)＋(|b|2－|a|2)x－ab＝(|b|2－|a|2)x，又|a||b|，f(x)是一次函数且为奇函数，故选A.

【答案】　A

8．已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|＋AC|AC|)BC＝0且AB|AB|AC|AC|＝12，则△ABC为()

A．等边三角形

B．直角三角形

C．等腰非等边三角形

D．三边均不相等的三角形

【解析】　AB|AB|和|AC||AC|分别是与AB，AC同向的两个单位向量．

AB|AB|＋AC|AC|是BAC角平分线上的一个向量，由(AB|AB|＋AC|AC|)BC＝0知该向量与边BC垂直，△ABC是等腰三角形．由ABAC|AB||AC|＝12知BAC＝60.△ABC是等边三角形．

【答案】　A

9．(2013湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()

A.322 B.3152

C．－322 D．－3152

【解析】　由已知得AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，因此AB在CD方向上的投影为ABCD|CD|＝1552＝322.

【答案】　A

10．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝()

A．2 B．4

C．5 D．10

【解析】　∵PA＝CA－CP，

|PA|2＝CA2－2CPCA＋CP2.

∵PB＝CB－CP，|PB|2＝CB2－2CPCB＋CP2.

|PA|2＋|PB|2＝(CA2＋CB2)－2CP(CA＋CB)＋2CP2＝AB2－2CP2CD＋2CP2.

又AB2＝16CP2，CD＝2CP，代入上式整理得|PA|2＋|PB|2＝10|CP|2，故所求值为10.

【答案】　D

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)

11．已知向量a＝(2,1)，ab＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|等于________．

【解析】　∵|a＋b|＝5 2，(a＋b)2＝50，即a2＋b2＋2ab＝50，

又|a|＝5，ab＝10，

5＋|b|2＋210＝50.

解得|b|＝5.

【答案】　5

12．已知a＝(3,1)，b＝(sin ，cos )，且a∥b.则4sin －2cos 5cos ＋3sin ＝________.

【解析】　∵a∥b，3cos ＝sin ，

tan ＝3.

4sin －2cos 5cos ＋3sin ＝4tan －25＋3tan ＝43－25＋33＝57.

【答案】　57

13．(2013课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD＝________.

【解析】　如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，

AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，

AEBD＝1(－2)＋22＝2.

【答案】　2

14．已知e1，e2是夹角为23的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若ab＝0，则实数k的值为________．

【解析】　由题意ab＝0，即有(e1－2e2)(ke1＋e2)＝0

ke21＋(1－2k)e1e2－2e22＝0.

又∵|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝23，

k－2＋(1－2k)cos 23＝0，

k－2＝1－2k2，k＝54.

【答案】　54

15．(2012安徽高考)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)b，则|a|＝________.

【解析】　a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．

∵(a＋c)b，

(a＋c)b＝(3,3m)(m＋1,1)＝6m＋3＝0，

∵m＝－12，

a＝(1，－1)，|a|＝12＋－12＝2.

【答案】　2

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)(2013江苏高考)已知a＝(cos ，sin )，b＝(cos ，sin )，0＜＜＜.

(1)若|a－b|＝2，求证：ab；

(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求，的值．

【解】　(1)证明　由题意得|a－b|2＝2，

即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2.

又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，

所以2－2ab＝2，即ab＝0，故ab.

(2)因为a＋b＝(cos ＋cos ，sin ＋sin )＝(0,1)，

所以cos ＋cos ＝0，sin ＋sin ＝1，

由此得，cos ＝cos(－)，由0＜＜，得0＜－＜.

又0＜＜，故＝－.代入sin ＋sin ＝1，得sin ＝sin ＝12，而＞，所以＝56，＝6.

17．(本小题满分12分)平面内三点A、B、C在一条直线上，OA＝(－2，m)，OB＝(n,1)，OC＝(5，－1)，且OAOB，求实数m、n的值．

【解】　AC＝OC－OA＝(7，－1－m)，

BC＝OC－OB＝(5－n，－2)．

∵A、B、C三点共线，AC∥BC，

－14＋(m＋1)(5－n)＝0. ①

又OAOB.

－2n＋m＝0. ②

由①②解得m＝6，n＝3或m＝3，n＝32.

18．(本小题满分12分)已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(tR)的模取最小值时．

(1)求t的值；

(2)求证：b(a＋tb)．

【解】　(1)(a＋tb)2＝|a|2＋|tb|2＋2atb，

|a＋tb|最小，即|a|2＋|tb|2＋2atb最小，

即t2|b|2＋|a|2＋2t|a||b|cos 〈a，b〉最小．

故当t＝－|a|cos 〈a，b〉|b|时，|a＋tb|最小．

(2)证明：b(a＋tb)＝ab＋t|b|2＝|a||b|cos 〈a，b〉－|a|cos 〈a，b〉|b||b|2＝|a||b|cos 〈a，b〉－|a||b|cos〈a，b〉＝0，故b(a＋tb)．

19．(本小题满分13分)△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC＝0.

(1)求数量积OAOB，OBOC，OCOA；

(2)求△ABC的面积．

【解】　(1)∵3OA＋4OB＋5OC＝0，

3OA＋4OB＝0－5OC，

即(3OA＋4OB)2＝(0－5OC)2.

可得9OA2＋24OAOB＋16OB2＝25OC2.

又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，

OA2＝OB2＝OC2＝1，

OAOB＝0.

同理OBOC＝－45，

OCOA＝－35.

(2)S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝12|OA||OB|sin AOB＋12|OB||OC|sin BOC＋12|OC||OA|sin AOC.

又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.

S△ABC＝12(sin AOB＋sin BOC＋sin AOC)．

由(1)OAOB＝|OA||OB|cos AOB＝cos AOB＝0得sin AOB＝1.

OBOC＝|OB||OC|cos BOC＝cos BOC＝－45，

sin BOC＝35，

同理sin AOC＝45.

S△ABC＝65.

20．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(AB－tOC)OC＝0，求t的值．

【解】　(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．

所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝42.

故所求的两条对角线长分别为42，210.

(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．

由(AB－tOC)OC＝0，得(3＋2t,5＋t)(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.

图1

21．(本小题满分13分)如图1，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2 3.若OC＝OA＋(，R)，求＋的值．

【解】　法一：作CD∥OB交直线OA于点D，作CE∥OA交直线OB于点E，则OC＝OD＋OE，

由已知OCD＝COE＝120－30＝90，在Rt△OCD中，OD＝OCcos 30＝4，

CD＝OCtan 30＝2，

OE＝CD＝2.

又∵|OA|＝|OB|＝1，OD＝4OA，OE＝2 OB，即OC＝OD＋OE＝4OA＋2OB，从而＋＝6，

法二：由图可知BOC＝120－30＝90，即OBOC，

又∵OC＝OA＋

OC2＝OAOC＋OC①OCOA＝OA2＋OA ②

2 32＝|OA||OC|cos 30|OC||OA|cos 30＝＋|OB||OA|cos 120

解得＝4＝2，＋＝6.