高考圆锥曲线最经典题型总结

第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查

1、(2010辽宁理数)设双曲线的—个焦点为F;虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐

近线垂直，那么此双曲线的离心率为

(A) (B) (C) (D)

【答案】D

2、(2010辽宁理数)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为 ,那么|PF|=

(A) (B)8 (C) (D) 16

【答案】B

3、(2010上海文数)8.动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的轨迹方程为 y28x 。

4、(2010全国卷2理数)(15)已知抛物线 的准线为 ，过 且斜率为 的直线与 相交于点 ，与 的一个交点为 .若 ，则 .

若双曲线 - =1(b>0)的渐近线方程式为y= ，则b等于。

【答案】1

5、已知椭圆 的两焦点为 ,点 满足 ,则| |+ |的取值范围为_______，直线 与椭圆C的公共点个数_____。

6、已知点P是双曲线 右支上一点， 、分别是双曲线的左、右焦点，I为 的内心，若 成立，则双曲线的离心率为(▲ )

A.4 B. C.2 D.

8、(2010重庆理数)(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点 ，排除B

9、(2010四川理数)椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是

(A) (B) (C) (D)

解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点 ，

即F点到P点与A点的距离相等

而|FA|=

|PF|∈[a-c,a+c]

于是 ∈[a-c,a+c]

即ac-c2≤b2≤ ac+c2

∴



又e∈(0,1)

故e∈

答案：D

10、(2010福建理数)若点O和点 分别是双曲线 的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 ( )

A. B. C. D.

【答案】B

11、(北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在 轴上，左右焦点分别为 ，且它们在第一象限的交点为P， 是以 为底边的等腰三角形.若 ，双曲线的离心率的取值范围为 .则该椭圆的离心率的取值范围是 .

12、(2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科) 已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一点，则 的最小值为___________.

13、(北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科)直线 过双曲线 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，若原点在以 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 .

14、(2010全国卷1文数)已知 、 为双曲线C: 的左、右焦点，点P在C上，∠ = ，则

(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8

15、(2010全国卷1理数)(9)已知 、 为双曲线C: 的左、右焦点，点P在C上，∠ P = ，则P到x轴的距离为

(A) (B) (C) (D)

16、(2010重庆理数)(14)已知以F为焦点的抛物线 上的两点A、B满足 ,则弦AB的中点到准线的距离为___________.

解析：设BF=m,由抛物线的定义知

中，AC=2m,AB=4m,

直线AB方程为

与抛物线方程联立消y得

所以AB中点到准线距离为

17、(2010上海文数)已知椭圆 的方程为 ， 、 和 为 的三个顶点.

(1)若点 满足 ，求点 的坐标;

(2)设直线 交椭圆 于 、 两点，交直线 于点 .若 ，证明： 为 的中点;

(3)设点 在椭圆 内且不在 轴上，如何构作过 中点 的直线 ，使得 与椭圆 的两个交点 、 满足 ?令 ， ，点 的坐标是(-8，-1)，若椭圆 上的点 、 满足 ，求点 、 的坐标.

解析：(1) ;

(2) 由方程组 ，消y得方程 ，

因为直线 交椭圆 于 、 两点，

所以>0，即 ，

设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，

则 ，

由方程组 ，消y得方程(k2k1)xp，

又因为 ，所以 ，

故E为CD的中点;

(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由 知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率 ，从而得直线l的方程.

，直线OF的斜率 ，直线l的斜率 ，

解方程组 ，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3).

18、(2010全国卷2理数)(21)(本小题满分12分)

己知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交于B、D两点，且BD的中点为 .

(Ⅰ)求C的离心率;

(Ⅱ)设C的右顶点为A，右焦点为F， ，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.

19、(2010安徽文数)椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，

焦点 在 轴上，离心率 。

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)求 的角平分线所在直线的方程。

20、(2010全国卷1理数)(21)(本小题满分12分)

已知抛物线 的焦点为F，过点 的直线 与 相交于 、 两点，点A关于 轴的对称点为D.

(Ⅰ)证明：点F在直线BD上;

(Ⅱ)设 ，求 的内切圆M的方程 .

21、(2010江苏卷)在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T( )的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ，其中m>0, 。

(1)设动点P满足 ,求点P的轨迹;

(2)设 ，求点T的坐标;

(3)设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。

22、在直角坐标系 中，点M到点 的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线 与轨迹C交于不同的两点P和Q.

(I)求轨迹C的方程;

(II)当 时，求k与b的关系，并证明直线 过 定点.

解：(1) 的距离之和是4，

的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为 的椭圆，

其方程为 …………3分

(2)将 ，代入曲线C的方程，

整理得

…………5分

因为直线 与曲线C交于不同的两点P和Q，

所以 ①

设 ，则

② ………… 7分

且 ③

显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A(-2，0)，

所以

由

将②、③代入上式，整理得 …………10分

所以

即 经检验，都符合条件①

当b=2k时，直线 的方程为

显然，此时直线 经过定点(-2，0)点.

即直线 经过点A，与题意不符.

当 时，直线 的方程为

显然，此时直线 经过定点 点，且不过点A.

综上，k与b的关系是：

且直线 经过定点 点 …………13分

23、(北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科)(本小题满分13分)

已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆C的离心率为 ，且经过点 ，过点P(2，1)的直线 与椭圆C在第一象限相切于点M .

(1)求椭圆C的方程;

(2)求直线 的方程以及点M的坐标;

(3))是否存过点P的直线 与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足 ?若存在，求出直线l1的方程;若不存在，请说明理由.

解(Ⅰ)设椭圆C的方程为 ，由题意得

解得 ，故椭圆C的方程为 .……………………4分

(Ⅱ)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为

由 得 . ①

因为直线 与椭圆 相切，所以

整理 ，得 解得 [

所以直线l方程为

将 代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为 …………9分

(Ⅲ)若存在直线l1满足条件，的方程为 ，代入椭圆C的方程得

因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为

所以

所以 .

又 ，

因为 即 ，

所以 .

即

所以 ，解得

因为A，B为不同的两点，所以 .

于是存在直线 1满足条件，其方程为 ………………………………13分

24、直线 的右支交于不同的两点A、B.

(I)求实数k的取值范围;

(II)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.

答案：.解：(Ⅰ)将直线

……①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为 、 ，则由①式得

……②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).

则由FA⊥FB得：

整理得

……③

把②式及 代入③式化简得

解得

可知 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.