2012-12-25 收藏
教学内容:直线与平面平行的判定和性质
【基础知识精讲】
1.直线和平面的位置关系
一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系:
(1)直线在平面内——直线上的所有点在平面内,根据公理1,如果直线上有两个点在平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内.
直线a在平面α内,记作aα.
(2)直线和平面相交——直线和平面有且只有一个公共点.
记作a∩α=A
(3)直线和平面平行——如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行.记作a∥α.
直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外,记作aα.
2.直线和平面平行的判定
判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(简记“线线平行,则线面平行”)
即 a∥b,aα,bαa∥α
证明 直线和平面平行的方法有:
①依定义采用反证法
②利用线面平行的判定定理
③面面平行的性质定理也可证明
3.直线和平面平行的性质定理
性质 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行,线线平行”).
即 a∥α,aβ,α∩β=ba∥b.
这为证线线平行积累了方法:
①排除异面与相交 ②公理4 ③线面平行的性质定理
【重点难点解析】
本节重点是直线与平面的三种位置关系,直线和平面平行的判定和性质,难点是直线和平面平行的性质的应用.
例1 如图,ABCD和ABEF均为平行四边形,M为对角线AC上的一点,N为对角线FB上的一点,且有AM∶FN=AC∶BF,求证:MN∥平面CBE.
分析:欲证MN∥平面CBE,当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系,因此本题必须通过三角形相似,由比例关系的变通,才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.
证:连AN并延长交BE的延长线于P.
∵ BE∥AF,∴ ΔBNP∽ΔFNA.
∴ =,则=.
即 =.
又 =,=,
∴ =.
∴ MN∥CP,CP平面CBE.
∴ MN∥平面CBE.
例2 一直线分别平行于两个相交平面,则这条直线与它们的交线平行.
已知:α∩β=a,l∥α,l∥β.求证:l∥a.
分析:由线面平行推出线线平行,再由线线平行推出线面平行,反复应用线面平行的判定和性质.
证明:过l作平面交α于b.∵l∥α,由性质定理知l∥b.
过l作平面交β于c.∵l∥β,由性质定理知l∥c.
∴ b∥c,显然cβ.∴ b∥β.
又 bα,α∩β=a,∴ b∥a.
又 l∥b.
∴ l∥a.
评注:本题在证明过程中注意文字语言、符号语言,图形语言的转换和使用.
例3 如图,在正四棱锥S—ABCD中,P在SC上,Q在SB上,R在SD上,且SP∶PC=1∶2,SQ∶SB=2∶3,SR∶RD=2∶1.求证:SA∥平面PQR.
分析:根据直线和平面平行的判定定理,必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可.
证:连AC、BD,设交于O,连SO,连RQ交SO于M,取SC中点N,连ON,那么ON∥SA.
∵==
∴RQ∥BD
∴=而=
∴=∴PM∥ON
∵SA∥ON.∴SA∥PM,PM平面PQR
∴ SA∥平面PQR.
评析:利用平几中的平行线截比例线段定理.
三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
例4 证明:过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线,在这平面上.
证明 如图,设直线a∥平面α,点A∈α,A∈直线b,b∥a,欲证b
α.事实上,∵b∥a,可确定平面β,β与α有公共点A,∴α,B交于过A的直线c,∵a∥α,∴a∥c,从而在β上有三条直线,其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合,即bα.
【难题巧解点拨】
例1 S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点,E、F分别在AD、CD上,且AE∶AD=CF∶CD,BE与AS相交于R,BF与SC相交于Q.求证:EF∥RQ.
证 在ΔADC中,因AE∶AD=CF∶CD,故EF∥AC,而AC
平面ACS,故EF∥平面ACS.而RQ=平面ACS∩平面RQEF,故EF∥RQ(线面平行性质定理).
例2 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中,面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F且B′E=C′F求证:EF∥平面AC.
分析 如图,欲证EF∥平面AC,可证与平面AC内的一条直线平行,也可以证明EF所在平面与平面AC平行.
证法1 过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N,连接MN
∵BB′⊥平面AC ∴ BB′⊥AB,BB′⊥BC
∴EM⊥AB,FN⊥BC
∴EM∥FN,∵AB′=BC′,B′E=C′F
∴AE=BF又∠B′AB=∠C′BC=45°
∴RtΔAME≌RtΔBNF
∴EM=FN
∴四边形MNFE是平行四边形
∴EF∥MN又MN平面AC
∴EF∥平面AC
证法2 过E作EG∥AB交BB′于G,连GF
∴=
∵B′E=C′F,B′A=C′B
∴=∴FG∥B′C′∥BC
又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B
∴平面EFG∥平面AC
又EF平面EFG
∴EF∥平面AC
例3 如图,四边形EFGH为四面体A—BCD的一个截面,若截面为平行四边形,求证:(1)AB∥平面EFGH;(2)CD∥平面EFGH
证明:(1)∵EFGH为平行四边形,∴EF∥HG,
∵HG平面ABD,∴EF∥平面ABD.
∵EF平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB.
∴EF∥AB,∴AB∥平面EFGH.
(2)同理可证:CD∥EH,∴CD∥平面EFGH.
评析:由线线平行线面平行线线平行.
【课本难题解答】
1.求证:如果两条平行线中的一条和一个平面相交,那么另一条也和这个平面相交.
已知:a∥b,a∩α=A,求证:b和α相交.
证明:假设bα或b∥α.
若bα,∵b∥a,∴a∥α.
这与a∩α=A矛盾,∴bα不成立.
若b∥α,设过a、b的平面与α交于c.
∵b∥α,∴b∥c,又a∥b ∴a∥c
∴a∥α这与a∩α=A矛盾.∴b∥α不成立.
∴b与α相交.
2.求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这条直线平行.
已知:a∥b,aα,bβ,α∩β=c.
求证:c∥a∥b
【命题趋势分析】
本节主要掌握直线和平面的位置关系的判定,直线与平面平行的证明与应用,它是高考中常考的内容,难度适中,因此学习好本节内容至关重要.
【典型热点考题】
例1 在下列命题中,真命题是( )
A.若直线m、n都平行平面α,则m∥n;
B.设α—l—β是直二面角,若直线m⊥l,则m⊥n,m⊥β;
C.若直线m、n在平面α内的射影是一个点和一条直线,且m⊥n,则n在α内或n与α平行;
D.设m、n是异面直线,若m和平面α平行,则n与α相交.
解 对于直线的平行有传递性,而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确;平面与平面垂直可得出线面垂直,要一直线在一平面内且垂直于交线,而B中m不一定在α内,故不正确;对D来说存在平面同时和两异面直线平行,故不正确;应选C.
例2 设a、b是两条异面直线,在下列命题中正确的是( )
A.有且仅有一条直线与a、b都垂直
B.有一平面与a、b都垂直
C.过直线a有且仅有一平面与b平行
D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交
解 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条,所以A不对;若有平面与a、b都垂直,则a∥b不可能,所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行,则过点与a相交的直线必在这个平面内,它不可能再与另一条直线相交,所以D不对,故选C.
例3 三个平面两两相交得三条交线,若有两条相交,则第三条必过交点;若有两条平行,则第三条必与之平行.
已知:α∩β=a,α∩=b, ∩α=c.
求证:要么a、b、c三线共点,要么a∥b∥c.
证明:①如图一,设a∩b=A,
∵α∩β=a.
∴aα而A∈a.
∴A∈α.
又β∩=b
∴b,而A∈b.
∴A∈
. 则A∈α,A∈,那么A在α、的交线c上.
从而a、b、c三线共点.
②如图二,若a∥b,显然c,b
∴ a∥
而 aα, α∩=c.
∴ a∥c
从而 a∥b∥c
【同步达纲练习】
一、选择题
1.如果直线a平行于平面α,直线b∥a,点A∈α,A∈b,则b与α的位置关系是( )
A.b∥α B.b∥α
C.b∥α或bα D.b∩α=A
2.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的线段,那么经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.AC在平面内 D.以上都有可能
3.平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内的直线的关系是( )
A.异面 B.相交
C.异面或平行 D.异面或相交
4.若AB、BC、CD是不在同一平面内的三线段,它们的中点分别是P、Q、R,且PQ=2,QR=,PR=3,则AC与BD所成角为( )
A.60° B.30° C.90° D.120°
5.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线都与直线a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线都与a相交
D.直线a与平面α有公共点
6.直线a∥平面α,P∈α,过点P且平行于a的直线( )
A.只有一条,不在平面α内 B.有无数条,不一定在α内
C.只有一条,且在平面α内 D.有无数条,一定在α内
7.下列判断正确的是( )
A.a∥α,bα,则a∥b B.a∩α=P,bα,则a与b不平行
C.aα,则a∥α D.a∥α,b∥α,则a∥b
8.若α∩β=a,l∩α=M,l∩β=n,则a和1( )
A.异面 B.可平行
C.相交,平行 D.异面,平行
9.若a∥b,b∥α,则( )
A.a∥α B.a∩α=A
C.a与α不相交 D.以上都不对
10.直线和平面平行,那么这条直线和这个平面内的( )
A.一条直线不相交 B.两条相交直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交
二、填空题
1.过平面外一点作一平面的平行线有 条.
2.若a∥平面α,b∥平面α,那么a,b的位置关系是 .
3.A、B、C、D四个点不在同一平面内,到这四点距离都相等的平面有 个.
4.已知直线a∥b,直线a∥α,则b与α的位置关系是( )
三、解答题
1.四面体A—BCD,被一平面所截,截面EFGH是一个矩形.
(1)求证:CD∥平面EFGH.
(2)求异面直线AB、CD所成的角.
2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1,O是底面ABCD的中心.
求证:OC1∥平面AB1D1
【素质优化训练】
1.如图,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1.
求:(1)A点到CD1的距离.
(2)A到BD1的距离.
(3)A点到面BDD1B1的距离.
(4)A点到面A1BD的距离.
(5)AA1到面BB1D1D的距离.
2.已知:空间四边形ABCD,E、F分别为AB、AD的中点.
求证:EF∥平面BDC.
3.已知:a∥平面α,P∈α,P∈b,且a∥b.
求证:bα.
4.用平行于四面体ABCD的一组对棱AC和BD的平面截此四面体得一四边形MNPQ.如图:
(1)求证:MNPQ是平行四边形.
(2)若AC=BD,能截得菱形吗?如何截?
(3)在什么情况下,可以截得一个矩形?
(4)在什么情况下,能截得一个正方形吗?如何截?
(5)若AC=BD=a,求证:平行四边形MNPQ的周长一定.
(6)若AC=a,BD=b,AC和BD所成的角为θ,求平行四边形MNPQ面积的最大值,此时如何截取?
【生活实际运用】
教室内,日光灯管所示直线与地面平行,若想在地面上作出一条直线与灯管所示直线平行,该怎样作出?
提示:只需由灯管两头和地面引两条平行线,两条相交线与地面的交点连线就是与灯管平行的直线.
【知识验证实验】
一根长为a的木梁,它的两端悬挂在两条互相平行的,长度都为b的绳索下,木梁处于水平位置,如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度φ,那么木梁升高多少?
提示 设M、N为悬挂点,AB为木梁的初始位置,那么AB=a,MA∥NB,MA=NB=b,∠A=∠B=90°.
设S为中点,L为过S的铅垂轴,那么L
平面MANB,木梁绕L转动角度φ后位于CD位置,T为CD中点,那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.
在平面MANB中,作TK∥AB,交MA于K,则AK=ST.
设ST=x,则x=b-KM.又KT=CT=,∠KTC=φ,有KC=asin.
从而KM=
.
∴x=b-
.
【知识探究学习】
三棱锥O—ABC的三条侧棱OA,OB,OC两两垂直,底面ABC上有一点P到各侧面的距离分别为2cm、3cm、6cm,求点P到棱锥顶点O的距离.
提示:如图,经过补形.
OP==7cm.
参考答案
【同步达纲练习】
一、1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D
二、1.无数 2.平行、相交、异面 3.7 4.b∥α或bα.
三、1.(1)略 (2)90°
2.设正方形A1B1C1D1的中心为O1,证明AO1∥OC1即可.
【素质优化训练】
1.(1)(2)(3)(4)(5)
2.略
3.证:在α内取一点A(A异于P).∵a∥α.∴A
若bα,则由于b∩α=P,且Pa′.∵a′α.
∴b与a′为异面直线,这与a′∥b矛盾.∴bα.
4.(1)略 (2)当M为AB中点时 (3)当AC⊥BD (4)当AC=BD,AC⊥BD,且M为AB中点. (5)2a (6)设MQ=x,PQ=y,=.S□=absinθ≤absinθ,Q为AD中点时取等号.
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