数学必修1(苏教版)

2．1　函数的概念和图象

2.1.4　映射的概念

函数实质上是定义域A(非空数集)到其值域B(非空数集)，按照某个对应法则f的一个对应，能否将函数的概念拓展为不是数集的对应？

基础巩固

1．设A＝{x|02}，B＝{y|12}，如图，能表示集合A到集合B的映射的是()

解析：因为象集为{y|12}，故A，B错，又根据映射的定义知C错．

答案：D

2．已知f：AB是集合A到B的映射，又A＝B＝R，对应法则f：xy＝x2＋2x－3，kB且k在A中没有原象，则k的取值范围是()

A．(－，－4) B．(－1,3)

C．[－4，＋) D．(－，－1)(3，＋)

解析：∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4－4，即象集为[－4，＋)当k－4时，k就没有原象．

答案：A

3．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，映射f：MN，在f作用下(x，y)的象是(2x,2y)，则集合N为()

A．{(x，y)|x＋y＝2，x0，y0}

B．{(x，y)|xy＝1，x0，y0}

C．{(x，y)|xy＝2，x0，y0}

D．{(x，y)|xy＝2，x0，y0}

解析：2x2y＝2x＋y＝21＝2.

答案：D

4．给出以下对应：

(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|xR，yR}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．其中是从集合A到B的映射的是________(填序号)．

答案：(1)(2)(3)

5．已知A＝B＝R，xA，yB，f：xy＝ax＋b，若55，且711，则当x20时，x＝________.

解析：由5a＋b＝5，7a＋b＝11a＝3，b＝－10，即y＝3x－10.当y＝20时，易得x＝10.

答案：10

6．从集合A＝{1,2,3,4}到B＝{5,6,7}可建立________个不同的映射．

解析：1选象有3种选法，同样的，2,3,4都有3种选象的方法且互不影响．

共有3333＝81个不同映射．

答案：81

7．已知M＝{正整数}，P＝{正奇数}，映射f：a(aM)b＝2a－1，则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________，P中的元素11对应着M中的元素________．

解析：由题知a＝11，b＝21，即M中的元素11对应着P中的元素21；又b＝11，代入b＝2a－1，a＝6，即P中的元素11对应着M中的元素6.

答案：21　6

8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c，2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．

解析：由题目的条件可以得到a＋2b＝14,2b＋c＝9，2c＋3d＝23,4d＝28，a＝6，b＝4，c＝1，d＝7.

答案：6,4,1,7

9．某次数学考试中，学号为i(14，且iN)的四位同学的考试成绩f(i){91,93,95,97,99}，且满足f(1)f(3)f(4)，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有________种．

解析：若f(1)f(3)f(4)，则有5种可能，若f(1)f(2)＝f(3)f(4)，则有10种可能，故成绩可能状况为5＋10＝15种．

答案：15

10．设A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，f：xy＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，已知m，nN*,1的象是4,7的原象是2，试求p，m，q，n的值．

解析：由题知p＋q＝4，2p＋q＝7，　p＝3，q＝1，

y＝3x＋1，

33＋1＝n4，3m＋1＝n2＋3n或33＋1＝n2＋3n，3m＋1＝n4，

∵m，nN*，

n4＝10，3m＋1＝n2＋3n(舍去)或10＝n2＋3n，3m＋1＝n4.

m＝5，n＝2.

p＝3，q＝1，n＝2，m＝5.

能力提升

11．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如函数f(x)＝2x＋1(xR)就是单函数．下列命题：

①函数f(x)＝x2(xR)就是单函数；

②若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；

③若f：AB为单函数，则对任意bB，它至多有一个原象．

其中正确命题是__________(写出所有正确命题序号)．

答案：②③

12．已知集合A为实数集R，集合B＝{y|y2}，xA，yB，对应法则f：xy＝x2－2x＋2，那么f：AB是A到B的映射吗？如果不是，可以如何变换集合A或B(f不变)使之成为映射．

解析：由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋11，即在f下，A中的元素变换成集合{y|y1}中的元素，现在已知的集合B＝{y|y2}，所以A中的部分元素x(0,2)在B中无对应元素．

所以f：AB不是A到B的映射．xKb 1. Com

将B改为{y|y1}，A与f不变，则f：AB成为A到B的一个映射．

13．由等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)(b1，b2，b3，b4)，求f(4,3,2,1)．

解析：为计算方便，在等式x4＋4x3＋3x2＋2x＋1＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4中，分别令x＝0，－1，－2,1得1＝1＋b1＋b2＋b3＋b4，－1＝b4，－7＝1－b1＋b2－b3＋b4，11＝16＋8b1＋4b2＋2b3＋b4b1＝0，b2＝－3，b3＝4，b4＝－1.

f(4,3,2,1)＝(0，－3,4，－1)．