数学必修1(苏教版)

2.2　指数函数

2．2.1　分数指数幂

在初中我们已经知道：若x2＝a，则x叫做a的平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2；零的平方根、立方根均为零，那么类比平方根、立方根的概念，n次方根的概念是什么呢？

基础巩固

1．下列各式中，对xR，nN*恒成立的是()

A.nxn＝x　 B.n|x|n＝x

C．(nx)n＝x D.2nx2n＝|x|

解析：nxn＝x，n为奇数|x|，n为偶数.

答案：D

2．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是()

A．ac B．ba

C．ba D．ac

解析：将根指数化为相同，再比较被开方数．

答案：D

3．式子3＋5＋3－5的化简结果为()

A．1 B．10 C．100 D.10

解析：3＋5＋3－5＝6＋252＋6－252＝5＋122＋5－122＝10.

答案：D

4.614－3338＋40.0625－(3＋)0的值是()

A．0 B.12 C．1 D.32

解析：原式＝52－32＋0.5－1＝12.

答案：B

5．已知x2＋x－2＝22且x1，则x2－x－2的值为()

A．2或－2 B．－2 C．2 D.6

解析：(x2＋x－2)2＝(22)2，即x4＋x－4＋2＝8，即x4＋x－4＝6，而(x2－x－2)2＝x4＋x－4－2＝4，

又∵x1，x2x－2，故x2－x－2＝2.

解析：C

6．计算：2＋25－52＋15－1＝________.

解析：5－5＝－5(5－1)，2＋2＝2(2＋1)．

答案：－10

7．若4a2－4a＋1＝31－2a3，则a的取值范围是________．

解析：∵2a－12＝|2a－1|＝1－2a，

2a－10，即a12.

答案：－，12

8.5＋26＋5－26＝________.

解析：原式＝3＋2＋3－2＝23.

答案：23

9．化简：（ － ＋1）（ ＋ ＋1）（x－ ＋1）＝________.

解析：原式＝[( ＋1)2－( )2](x－ ＋1)＝(x＋1＋ )(x－ ＋1)＝(x＋1)2－( )2＝x2＋x＋1.

答案：x2＋x＋1

10.36a9463a94的结果是________．

解析：[ ]4[ ]4＝ ＝a2＋2＝a4.

答案：a4

11．用分数指数幂表示4a3aa＝________.

解析：原式＝ ＝

答案：

12．若m＝(2＋3)－1，n＝(2－3)－1，则(m＋1)－2＋(n＋1)－2＝________.

解析：∵m＝2－3，n＝2＋3，原式＝13－32＋13＋32＝112－63＋112＋63＝ ＝162＋3＋2－3＝46＝23.

答案：23

13．（ ）（－ ）6（－ ）＝________.

解析：原式＝－2－3 ＝ .

答案：

14．计算： 33yx3x2y(x0)．

解析：原式＝

＝ ＝

能力提升

15.82＋122＋124＋128＋1＋1＝________.

解析：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1

＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1

＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1

＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1

＝(28－1)(28＋1)＋1

＝216－1＋1＝216.

原式＝22＝4.

答案：4

16．化简：a3b23ab2a14b1243ba(a，b0)的结果是________．

解析：原式＝ ＝

＝ ＝ab.

答案：ab

17．x12，2，则4x2－4x＋1＋2x2－4x＋4＝________.

解析：原式＝|2x－1|＋2|x－2|

＝2x－1＋2(2－x)＝2x－1＋4－2x＝3.

答案：3

18．已知a＝ (nN*)，求(a2＋1＋a)n的值．

解析：∵a＝ ，

a2＋1＝ ＋1

＝

＝ ＝ .

a2＋1＋a＝ ＋ .

(a2＋1＋a)n＝2013.

19．已知a2x＝2＋1，求a3x＋a－3xax＋a－x的值．

解析：原式＝ ＝a2x＋a－2x－1＝2＋1＋12＋1－1＝2＋2－1＝22－1. xKb 1. Com

20．设x＝3a＋a2＋b3＋3a－a2＋b3，求x3＋3bx－2a的值．

解析：设u＝3a＋a2＋b3，v＝3a－a2＋b3，则x＝u＋v，u3＋v3＝2a，uv＝3a2－a2＋b3＝－b.

x3＝(u＋v)3＝u3＋u3＋3uv(u＋v)＝2a－3bx，

x3＋3bx－2a＝0.

21．化简： － .

解析：原式＝ －

＝ － ＋ －

＝ － ＋ － － －

＝－2 ＝－23xyxy.

22．化简： ＋ － .

解析：原式看上去比较复杂，不易发现项与项之间、分子与分母之间的关系，如令b＝ ，式子就变得简单些了．令b＝ ，即a＝b3，原式＝b3－1b2＋b＋1＋b3＋1b＋1－b3－bb－1＝ ＋ － ＝b－1＋b2－b＋1－b2－b＝－b＝－ .