2014届高三数学上册第一次月考文试题

数学(文)试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

⒈ 若复数 满足 ，则 的虚部为( )

A. B. C. D.

⒉ 设 ，则 是 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

⒊ 已知 ，函数 的定义域为集合 ，则 ( )

A. B. C. D.

⒋ 已知向量 ， ， .若 ，则实数 的值为( )

A. B. C. D.

⒌ 等差数列 中的 、 是函数 的极值点，则 ( )

A. B. C. D.

⒍ 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为( )

A. B. C. D.

⒎ 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

( )

A. B.

C. D.

⒏ 已知函数 ，则不等式 的解集为( )

A. B. C. D.

⒐ 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为( )

A. B. C. D.

⒑ 定义在 上的偶函数 ，满足 ， ，则函数 在区间 内零点的个数为( )

A. 个 B. 个 C. 个 D.至少 个

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二、填空题：本大题共5 小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.

11. 求值： .

12.阅读程序框图(如图所示)，若输入 ， ， ,则输出的数是 .

13. 已知 ，由不等式 ， ， ，.在 条

件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式 .

14. 已知圆 的圆心是直线 与 轴的交

点，且圆 与直线 相切.则圆 的方程为 .

15.已知函数 ，给出下列五个说法：

① ;②若 ，则 ;③ 在区间 上单调递增; ④将函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象;⑤ 的图象关于点 成中心对称.其中正确说法的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.

16.(本小题满分12分)

已知函数 ， .

(Ⅰ)求函数 的最小值和最小正周期;

(Ⅱ)设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，满足 ， 且 ，求 、 的值.

17.(本小题满分12分)

如图， 是边长为2的正方形， 平面 , , // 且 .

(Ⅰ)求证：平面 平面 ;

(Ⅱ)求几何体 的体积.

18.(本小题满分13分)

数列 的前 项和为 ， .

(Ⅰ)设 ，证明：数列 是等比数列;

(Ⅱ)求数列 的前 项和 .

19.(本小题满分12分)

某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题.

(Ⅰ)求分数在[120,130)内的频率;

(Ⅱ)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100+1102=105)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分;

(Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.

20.(本小题满分13分)

已知椭圆 ： 的离心率为 ，左焦点为 .

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)若直线 与曲线 交于不同的 、 两点，且线段 的中点 在圆 上，求 的值.

21.(本小题满分14分)

已知函数 ( ).

(Ⅰ)当 时，求函数 的极值;

(Ⅱ)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

安徽省望江中学2014届第一次月考

数学(文)试题答案

⒋【解析】∵ ， ，即 ， ，解得 ，选D.

⒌【解析】 .因为 、 是函数 的极值点，所以 、 是方程 的两实数根，则 .而 为等差数列，所以 ，即 ，从而 ，选A.

⒍【解析】由已知作出可行域为一个三角形区域，得到三个交点 ，当直线 平移通过点 时，目标函数值最小，此时 .

【考点定位 】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力.

⒎【解析】由图知，原几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体， ， ， ，则表面积为 ，选B.

⒏【答案】A.

⒑【解析】∵ 是定义在 上的偶函数，且周期是3， ， ，即 . ， ，所以方程 在 内，至少有4个解，选D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

题号⒒⒓⒔⒕⒖

答案

①④

⒒【解析】 .

⒓【解析】程序框图的功能是：输出 中最大的数，

∵ ， ， ，所以输出的数为 .

⒔【解析】根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简.消去根号，得到右式，则 .

⒕【解析】令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为 .

因为直线 与圆 相切，所以圆心 到直线的距离等于半径，即 ，所以圆 的方程为 .

⒗ (本小题满分12分)

【解析】(Ⅰ) ，3分

则 的最小值是 ，最小正周期是 ;6分

(Ⅱ) ，则 ，7分

, ,所以 ，

所以 ， ， 9分

因为 ，所以由正弦定理得 ，①10分

由余弦定理得 ，即 ②11分

由①②解得： ， .12分

⒘ (本小题满分12分)

【解析】(Ⅰ)∵ ED平面 ，AC 平面 ， EDAC.2分

∵ 是正方形， BDAC， 4分

AC平面BDEF. 6分

又AC平面EAC，故平面EAC平面BDEF.

(Ⅱ)连结FO，∵ EF DO， 四边形EFOD是平行四边形.

由ED平面 可得EDDO，

四边形EFOD是矩形.8分

方法一： ∥ ，

而ED平面 ， 平面 .

∵ 是边长为2的正方形， 。

由(Ⅰ)知，点 、 到平面BDEF的距离分别是 、 ，

从而 ;

方法二：∵ 平面EAC平面BDEF.

点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高，

且高 .10分

几何体ABCDEF的体积

=

=2.

12分

⒙(本小题满分12分)

【解析】(Ⅰ)因为 ，

所以 ① 当 时， ，则 ，1分

② 当 时， ，2分

所以 ，即 ，4分

所以 ，而 ，5分

所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .

所以 ① ，

② ，8分

②-①得： ，10分

.12分

⒚(本小题满分12分)

【解析】(Ⅰ)分数在[120,130)内的频率为 ;

2分

(Ⅱ)估计平均分为

. 5分

(Ⅲ)由题意，[110,120)分数段的人数为600.15=9(人).[120,130)分数段的人数为600.3=18(人). 7分

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，

需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为 、 ; 8分

在[120,130) 分数段内抽取4人，并分别记为 、 、 、 ; 9分

设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内为事件A，则基本事件共有 ，

共15种. 10分

则事件A包含的基本事件有 ， 共9种. 11分

. 12分

⒛(本小题满分13分)

【解析】(Ⅰ)由题意得 ， 2分

解得 4分

所以椭圆C的方程为： 6分

(Ⅱ)设点 、 的坐标分别为 ， ，线段 的中点为 ，

由 ，消去y得 8分

∵ ， 9分

， 10分

∵点 在圆 上， ，即 13分

21.(本小题满分14分)

【解析】(Ⅰ)当 时，

，2分

令 ，解得 .

当 时，得 或 ;当 时，得 .4分

当 变化时， ， 的变化情况如下表：

极大

极小

当 时，函数 有极大值， ; 5分

当 时，函数 有极大值， ， 6分

(Ⅱ)∵ ，对 ， 恒成立，即 对 恒成立， 7分

①当 时，有 ，即 对 恒成立，9分

∵ ，当且仅当 时等号成立，

，解得 11分

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