聪明出于勤奋，天才在于积累。我们要振作精神，下苦功学习。查字典数学网编辑函数与导数解答题专题训练，以备借鉴。

1.(2014皖南八校联考)已知函数f(x)=ex(ax2-2x+2)，其中a0.

(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+e2y-1=0垂直，求实数a的值;

(2)讨论f(x)的单调性.

解 f(x)=ex[ax2+ (2a-2)x](a0).

(1)由题意得f(2)-1e2=-1，解得a=58.

(2)令f(x)=0，得x1=0，x2=2-2aa.

①当0

②当a=1时，f(x)在(-，+)内单调递增;

③当a1时，f(x)的增区间为-，2-2aa，(0，+)，减区间为2-2aa，0.

2.(2014云南二模)已知f(x)=ex(x3+mx2-2x+2).

(1)假设m=-2，求f(x)的极大值与极小值;

(2)是否存在实数m，使f(x)在[-2，-1]上单调递增?如果存在，求实数m的取值范围;如果不存在，请说明理由.

解 (1 )当m=-2时，f(x)=ex(x3-2x2-2x+2)的定义域为(-，+).

∵f(x)=ex(x3-2x2-2x+2)+ex(3x2-4x-2)

=xex(x2+x-6)=(x+3)x(x-2)ex，

当x(-，-3)或x(0,2)时，f(x)

当x(-3,0)或x(2，+)时，f(x)

f(-3)=f(0)=f(2)=0，

f(x)在(-，-3)上单调递减，在(-3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，+)上单调递增，

当x=-3或x=2时，f(x)取得极小值;

当x=0时，f (x)取得极大值，

f(x)极小值=f(-3)=-37e-3，f(x)极小值=f(2)=-2e2，f(x)极大值=f(0)=2.

(2)f(x)=ex(x3+mx2-2x+ 2)+ex(3x2+2mx-2)=xex[x2+(m+3)x+2m-2].

∵f(x)在[-2，-1]上单调递增，

当x[-2，-1]时，f(x)0.

又当x[-2，-1]时，xex0，

当x[-2，-1]时，x2+(m+3)x+2m-20，

-22-2m+3+2m-20，-12-m+3+2m-20，

解得m4，

当m(-，4]时，f(x)在[-2，-1]上单调递增.

3.(文)(2014山西四校联考)已知函数f(x)=ax2+x-xlnx.

(1)若a=0，求函数f(x)的单调区间;

(2)若f(1)=2，且在定义域内f(x)bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围.

解 (1)当a=0时，f(x)=x-xlnx，函数定义域为(0，+).

f(x)=-lnx，由-lnx=0，

得x=1.

当x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数;

当x(1，+)时，f(x)0，f(x)在(1，+)上是减函数.

(2)由f(1)=2，得a+1=2，

a=1，

f(x)=x2+x-xlnx，

由f(x)bx2+2x，

得(1-b)x-1lnx.

∵x0，

b1-1x-lnxx恒成立.

令g(x)=1-1x-lnxx，可得g(x)=lnxx2，

g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，

g(x)min=g(1)=0，

b的取值范围是(- ，0].

3.(理)(文)4.

(2014广州调研)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0的解集是(0,5)，且f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线6x+y+1 =0平行.

(1)求f(x)的解析式;

(2)是否存在tN*，使得方程f(x)+37x=0在区间(t， t+1)内有两个不相等的实数根?若存在，求出t的值;若不存在，说明理由.

解 ( 1)∵f(x)是二次函数，

不等式f(x)0的解集是(0,5)，

可设f(x)=ax(x-5)，a0.

f(x)=2ax-5a.

∵函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线6x+y+1=0平行，

f(1)=-6.2a-5a=-6，解得a=2.

f(x)=2x(x-5)=2x2-10x.

(2)由(1)知，方程f(x)+37x=0等价于方程2x3-10x2+37=0.

设h(x)=2x3-10x2+37，

则h(x)=6x2-20x=2x(3x-10).

当x0，103时，h(x)0，函数h(x)在0，103上单调递减;

当x103，+时，h(x)0，函数h(x)在103，+上单调递增.

∵h(3)=10，h103=-1270，h(4)=50，

方程h(x)=0在区间3，103，103，4内各有一个实数根，在区间(0,3)，( 4，+)内没有实数根.

存在唯一的正整数t=3，使得方程f(x)+37x=0在区间(t，t+1)内有且只有两个不相等的实数根.

4.(理)(文)5 .

(2014辽宁五校联考)已知函数f(x)=xlnx.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)证明：对任意的t0，存在唯一的实数m使t=f(m);

(3)设(2)中所确定的m关于t的函数为m=g(t)，证明：当te时，有710

解 (1)∵f(x)=xlnx，f(x)=lnx+1(x0)，

令f(x)=0，得x=1e.

当x0，1e时，f(x)0，此时f(x)在0，1e上单调递减;

当x1e，+时，f(x)0，f(x)在1e，+上单调递增.

(2)当0

又t0，

令h(x)=f(x)-t，x[1，+)，

由(1)知h(x)在区间[1，+)上为增函数，h(1)=-t0，

h(et)=t(et-1)0，

存在唯一的实数m，使t=f(m)成立.

(3)∵m=g(t)且由(2)知t=f(m)，t0，

当te时，若m=g(t)e，

则由f(m)的单调性有t=f(m)f(e)=e，矛盾，

me.

又lngtlnt=lnmlnfm=lnmlnmlnm=lnmlnm+lnlnm=uu+lnu，其中u=lnm，u1，

要使710

只需0

令F(u)=lnu-37u，u1，F(u)=1u-37，

当1

当u73时，F(u)0，F(u)单调递减.

对u1，F(u)0，

即lnu37u成立.

综上，当te时，710

5.(理)(2014浙江 考试院抽测)已知a为给定的正实数，m为实数，函数f(x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.

(1)若f(x)在(0,3)上无极值点，求m的值;

(2)若存在x0(0,3)，使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值，求实数m的取值范围.

解 (1)由题意得f(x)=3ax2-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m)，

由 于f(x)在(0,3)上无极值点，

故2ma=2，所以m=a.

(2)由于f(x)=3(x-2)(ax-2m)，故

①当2ma0或2ma3，

即 m0或m32a时，

取x0=2即满足题意.

此时m0或m32a.

②当02，即0

x00，2ma

2ma

2ma，2

2(2,3)3

f(x)+0-0+

f(x)1单调递增极大值单调递减极小值单调递增9m+1

故f(2)f(0)或f2maf(3)，

即-4a+12m+11或-4m3+12m2aa2+19m+1，

即3ma或-m2m-3a2a20，

即ma3或m0或m=3a2.

此时0

③当2 3，即a

x0(0,2)22，2ma

2ma

2ma，3

3

f(x)+0-0+

f(x)1单调递增极大值单调递减极小值单调递增9m+1

故f2maf(0)或f(2)f(3)，

即-4m3+12m2aa2+11或-4a+12m+19m+1，

即-4m2m-3aa20或3m4a，

即m=0或m3a或m4a3.

此时4a33a2.

综上所述，实数m的取值范围是ma3或m4a3.

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