2014届高三上册数学第一次月考理科试题（带答案）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题时120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷(选择题共10小题，每小题5分，共50分)

一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)

1.若集合 , ,则 ( )

A. B. C. D.

答案：A

解析：集合A={ }，A={ }，所以，

2.在复平面内,复数 对应的点的坐标为()

A. B. C. D.

答案：A

解析：原式= = ，所以，对应的坐标为(0，-1)，选A

3.已知 为等差数列，若 ，则 的值为( )

A. B. C. D.

答案：D

解析：因为 为等差数列，若 ，所以， ，

4. 已知函数 有且仅有两个不同的零点 ， ，则()

A.当 时， ， B.当 时， ，

C.当 时， ， D.当 时， ，

答案：B

解析：函数求导，得： ，得两个极值点：

因为函数f(x)过定点(0，-2)，有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如下图：

因此，可知， ，只有B符合。

5. 设集合 是 的子集，如果点 满足： ，称 为集合 的聚点.则下列集合中以 为聚点的有：① ; ② ; ③ ; ④ ()

A.①④B.②③C.①②D.①②④

答案：A

【解析】①中，集合 中的元素是极限为1的数列，

在 的时候，存在满足0|x-1|

1是集合 的聚点

②集合 中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即|x-1|1

对于某个a1，不存在0|x-1| ，1不是集合 的聚点

③对于某个a1，比如a=0.5，此时对任意的xZ，都有|x﹣1|=0或者|x﹣1|1，也就是说不可能0|x﹣1|0.5，从而1不是整数集Z的聚点

④ 0，存在0|x-1|0.5的数x，从而1是整数集Z的聚点

故选A

6. 在下列命题中, ① 是 的充要条件;② 的展开式中的常数项为 ;③设随机变量 ~ ,若 ,则 .其中所有正确命题的序号是()

A.② B.②③ C.③D.①③

答案：B

解析：①是充分不必要条件，故错误;② ，令12-4k=0，得，k=3，所以，常数项为2，正确;③正态分布曲线的对称轴是x=0， ，所以， 正确;

7.已知偶函数 ,当 时, ,当 时, ( ).关于偶函数 的图象G和直线 : ( )的3个命题如下:

①当a=4时,存在直线 与图象G恰有5个公共点;

②若对于 ,直线 与图象G的公共点不超过4个,则a

③ ,使得直线 与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

答案：D

解析：因为函数 和 的图象的对称轴完全相同，所以两函数的周期相同，所以 ，所以 ，当 时， ，所以 ，因此选A。

8. 已知函数 ,定义函数 给出下列命题:

① ; ②函数 是奇函数;③当 时,若 , ,总有 成立,其中所有正确命题的序号是()

A.②B.①②C.③D.②③

答案：D

解析：① ，所以，错误;②当x0时，-x0，F(-x)=-f(-x)=-( )=-f(x)=F(x)，为奇函数，同理可证当x0时也是奇函数，正确;

③因为mn0，不妨设m0，n0，又m+n0，所以，|m||n|，

= -( )= ，因为 ，所以，有 0，正确。

9. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有()

A.12种B.15种C.17种D.19种

答案：D

解析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有 取法;第二类，有两次取到3号球，共有 取法;第三类，三次都取到3号球，共有1种取法;共有19种取法。

10.若函数 满足 ，且 时， ，函数 ，则函数 在区间 内的零点的个数为

A.6B.7C.8D.9

答案：C

解析：因为函数 满足 ，所以函数 是周期为2 的周期函数，又因为 时， ，所以作出函数 的图像：

由图知：函数 -g(x)在区间 内的零点的个数为8个。

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)

11.设方程 的根为 ，设方程 的根为 ，则 。

答案：4

解析：在同一坐标系中作出函数 与 的图象。它们与直线 的交点为 、 ，则 。因为函数 与 互为反函数，由反函数性质知 ，所以 。

12. 数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 .

答案：1006

解析：

所以 ，于是 。

13.若正整数 满足 ，则数组 可能是 .

答案：(3，2，2，2)

解析：不妨设 ，由题易得 ，通过验算可得 。

14. 已知a,b均为正数且 的最大值为 .

答案：

解析：由柯西不等式可得：

15. 函数 的定义域为 ,若 且 时总有 ,则称 为单函数.例如,函数 是单函数.下列命题:①函数 是单函数;②函数 是单函数;③若 为单函数, 且 ,则 ;④函数 在定义域内某个区间 上具有单调性,则 一定是单函数.其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).

答案：③

解析：①若 ,则由 得 ,即 ,解得 ,所以①不是单函数.②若 则由函数图象可知当 ,时, ,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某个区间 上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③.

三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程)

16.(本小题共12分)已知函数 ，其中

(1)对于函数 ，当 时， ，求实数 的取值集合;

(2)当 时， 的值为负，求 的取值范围。

17.(本小题共12分)如图,四棱锥 的底面 是正方形,棱 底面 , =1, 是 的中点.

(1)证明平面 平面 ;

(2)求二面角 的余弦值。

18.(本小题共12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 . ① ;

② ;

③ ;

④ ;

⑤ .

(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 ;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

19.(本小题共12分)已知函数

(1)若 求 在 处的切线方程;

(2)若 在区间 上恰有两个零点,求 的取值范围.

20.(本小题13分)如图，过抛物线 的对称轴上任一点 作直线与抛物线交于 、 两点，点Q是点P关于原点的对称点。

(1)设 ，证明： ;

(2)设直线AB的方程是 ，过 、 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

21.(本小题14分)已知函数 ( ).

(1)当 时,求函数 的单调区间;

(2)当 时, 取得极值.

① 若 ,求函数 在 上的最小值;

② 求证:对任意 ,都有 .

理科数学解答题参考答案

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程)

16.解:(1)容易知道函数 是奇函数、增函数。

(2)由(1)可知：当 时， 的值为负

且

17.证明:(1) ∵ , 是 的中点, .

∵ 底面 , .又由于 , ,

故 底面 ,

所以有 .又由题意得 ,故 .

于是,由 , , 可得 底面 .

故可得平面 平面

(2)取CD的中点F，连接AC与BD，交点为M，取DM的中点N，连接EN，FN，易知 为二面角 的平面角，又 ， ，由勾股定理得 ，在 中，

所以二面角 的余弦值为

(用空间向量做，答案正确也给6分)

18.解： (1)选择②式计算

.

(2)猜想的三角恒等式为

.

证明：

19.解: (1)

在 处的切线方程为

(2)由

由 及定义域为 ,令

①若 在 上, , 在 上单调递增,

因此, 在区间 的最小值为 .

②若 在 上, , 单调递减;在 上, , 单调递增,因此 在区间 上的最小值为

③若 在 上, , 在 上单调递减,

因此, 在区间 上的最小值为 .

综上,当 时, ;当 时, ;

当 时,

可知当 或 时, 在 上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.

当 时,要使 在区间 上恰有两个零点,则

即 ,此时, .

所以, 的取值范围为

20.解: (1) 由题意，可设直线 的方程为 ，代入抛物线方程 得

①

设 、 两点的坐标分别是 ，则 是方程①的两根，所以

由 得 ，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为 ，从而

所以

(2) 由 得 的坐标分别为

抛物线 在点A处切线的斜率为3.

设圆C的方程是 ，则

解之得

故，圆C的方程是

21.解：(1)

当 时,

解 得 或 , 解 得

所以 单调增区间为 和 ,单调减区间为

(2)①当 时, 取得极值, 所以

解得 (经检验 符合题意)

+0-0+

↗↘↗

所以函数 在 , 递增,在 递减

当 时, 在 单调递减,

当 时

在 单调递减,在 单调递增,

当 时, 在 单调递增,

综上, 在 上的最小值

②令 得 (舍)

因为 所以

所以,对任意 ,都有

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