3.1.2　不等式的性质第二课时 优化训练

1．若0a2,0b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()

A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2

C．a1b2＋a2b1 D.12

解析：选A.利用特殊值法：a1＝15，a2＝45，b1＝14，b2＝34，可验证A最大．

2．如果loga3＞logb3＞0那么a，b间的关系是()

A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜b

C．0＜b＜a＜1 D．1＜b＜a

解析：选B.由loga3＞logb3＞0得lg3lga＞lg3lgb＞0，0＜lga＜lgb，1＜a＜b.

3．若直线xa＋yb＝1通过点M(cos，sin)，则()

A．a2＋b2 B．a2＋b21

C.1a2＋1b2 D.1a2＋1b21

解析：选D.由题意知直线xa＋yb＝1与圆x2＋y2＝1有交点，则11a2＋1b21，所以 1a2＋1b21，即1a2＋1b21，故选D.

4．若15，－12，则a－b的取值范围是________．

解析：∵－12，－21，1－2a－b1＋5，即－1a－b6.

答案：[－1,6]

5．糖水是日常生活中常见的东西，下列关于糖水浓度的问题，请提炼出一个不等式来．

(1)如果向一杯糖水里添上点糖，糖水就更甜了；

(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．

解：(1)设糖水b克，含糖a克，浓度为ab，添入m克糖后的浓度为a＋mb＋m，则提炼出的不等式模型为：若b0，m0，则aba＋mb＋m.

(2)设淡糖水b1克，含糖a1克，浓度为a1b1；浓糖水b2克，含糖a2克，浓度为a2b2，则混合后的浓度为a1＋a2b1＋b2，所提炼出的不等式模型为：若b10，b20，且a1b1a2b2，则a1b1a1＋a2b1＋b2a2b2.

1．已知实数a、b、c、d满足ab，cd，(a－c)(a－d)＝4，(b－c)(b－d)＝4，则()

A．acd B．cab

C．cd D．adb

解析：选D.由(a－c)(a－d)＝4及(b－c)(b－d)＝4知a、b是方程(x－c)(x－d)＝4的两个实根．

由根与系数的关系得a＋b＝c＋d.

由不等式性质淘汰A、B、C，故选D.

2．(2011年松原高二检测)若x＞1＞y，下列不等式不成立的是()

A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1

C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x

解析：选A.若x＝32，y＝14，则x－1＜1－y，故A错．

3．若6＜a＜10，a22a，c＝a＋b，则c的取值范围是()

A．918 B．15＜c＜30

C．930 D．9＜c＜30

解析：选D.∵3＜b＜20，9＜a＋b＜30.

4．已知函数f(x)＝x＋x3，x1、x2、x3R，x1＋x20，x2＋x30，x3＋x10，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()

A．一定大于0 B．一定小于0

C．等于0 D．正负都有可能

解析：选B.显然函数f(x)是奇函数，

且f(x)在R上是增函数．

∵x1＋x30，x1－x3，

f(x1)f(－x3)，

f(x1)－f(x3)，

f(x1)＋f(x3)0，

同理，f(x1)＋f(x2)0，f(x2)＋f(x3)0，

f(x1)＋f(x2)＋f(x3)0.

5．已知01b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M、N的大小关系是()

A．M B．MN

C．M＝N D．不确定

解析：选A.由已知得a0，bab1，于是

M＝11＋a＋11＋b＝bb＋ab＋aa＋abbb＋1＋aa＋1＝N，

故选A.

6.如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，设V1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，V2为大球内、小球外的部分(图中黑色部分)的体积，则下列关系式中正确的是()

A．V1 B．V2V2

C．V1 D．V1V2

解析：选D.由题意知，大球半径与小球半径之比为2∶1，设大球半径为R，则小球半径为R2，V2＝43R3－443(R2)3＋V1＝23R3＋V1，所以V2－V1＝230，所以V2V1，故选D.

7．(2010年高考辽宁卷)已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．

解析：设z＝2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，

则m＋n＝2m－n＝－3，解得m＝－12n＝52.

又∵－2＜－12(x＋y)＜12，

5＜52(x－y)＜152，

3＜2x－3y＜8.

答案：(3,8)

8．已知ac，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为______．

解析：a＋b＋c＝0，b＝－(a＋c)，

b2＝a2＋c2＋2ac4ac.∵ac，b2－4ac0.

答案：正

9．若mn，pq且(p－m)(p－n)0，(q－m)(q－n)0.则m，n，p，q的大小顺序为______．

解析：视(p－m)(p－n)0为关于p的二次不等式．

∵mn，mn，同理mn.

故mqn.

答案：mqn

10．已知a＋b＞0，比较ab2＋ba2与1a＋1b的大小．

解：ab2＋ba2－(1a＋1b)＝a－bb2＋b－aa2

＝(a－b)(1b2－1a2)＝a＋ba－b2a2b2，

∵a＋b＞0，(a－b)20，a＋ba－b2a2b20，

ab2＋ba21a＋1b.

11．已知0＜＋＜2，－2＜－＜3，求2，2，3－3的取值范围．

解：∵0＜＋＜2，①－2＜－＜3，②

①与②相加得－2＜2＜56.

又∵－2＜－＜3，－3＜－＜2.③

①与③相加得－3＜2＜.

又设3－3＝m(＋)＋n(－)＝(m＋n)＋(m－n)，

m＋n＝3，m－n＝－13，m＝43，n＝53.

3－3＝43(＋)＋53(－)，

而0＜43(＋)＜23，－56＜53(－)＜59，

两式相加得－56＜3－3＜119.

12．甲、乙两人沿着同一条路同时从A地出发走向B地，甲用速度v1与v2(v1v2)各走路程的一半，乙用速度v1与v2各走全路程所需时间的一半，试判断甲、乙两人谁先到达B地，并证明你的结论．

解：乙先到达B地．证明如下：

设从A地到B地的总路程为1，

则甲走完全路程所用时间t1＝12v1＋12v2＝12v1＋12v2，

乙走完全路程所用时间t2＝2v1＋v2，

t2－t1＝2v1＋v2－(12v1＋12v2)

＝4v1v2－v2v1＋v2－v1v1＋v22v1v2v1＋v2

＝2v1v2－v21－v222v1v2v1＋v2＝－v1－v222v1v2v1＋v2.

∵v1v2，v1＞0，v2＞0，

－v1－v222v1v2v1＋v2＜0，

即t1＞t2.

甲走完全路程所用时间比乙多，故乙先到达B地．