河南省信阳市2015初三数学上册期中考试题(含答案解析)

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）

A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对

3．函数y=﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）

A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．2，1）

4．函数y=2x2﹣3x+4经过的象限是（）

A．一，二，三象限 B．一，二象限 C．三，四象限 D．一，二，四象限

5．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c

6．二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线（）

A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3

7．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（）

A．﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2

8．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB= ，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（）

A．（﹣1， ） B．（﹣1， ）或（﹣2，0） C．（ ，﹣1）或（0，﹣2） D．（ ，﹣1）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为．

10．如图，直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．

11．已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则（a+b）2015的值为．

12．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．

13．若抛物线y= x2+x+c与x轴没有交点，则直线y=cx+1经过象限．

14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．

15．若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．解方程：

（1）x﹣2=x（x﹣2）

（2）x2﹣4x﹣1=0．

17．已知a是一元二次方程x2+3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），

B（﹣1，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；

（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后的△A2B2C2；

（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．

19．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．

求证：FD=BE．

20．如图所示，抛物线 与直线 交于A，B两点．

（1）A点坐标为，B点坐标为；

（2）当自变量x的取值范围为时，y1的值随x的增大而增大；

（3）当﹣1≤x＜2时，函数y1的取值范围为；

（4）当自变量x的取值范围为时，y1＜y2．

21．（10分）小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣ （t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

22．（10分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

23．（11分）如图，抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

河南省信阳市2015初三数学上册期中考试题(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故A正确；

B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故B错误；

C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C错误；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故D错误；

故选A．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）

A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对

【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．

【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．

当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；

当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．

∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．

【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．

3．函数y=﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）

A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．2，1）

【考点】二次函数的性质．

【分析】将二次函数的一般形式化为顶点式后即可直接说出其顶点坐标；

【解答】解：∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x2+4x+4﹣4+3）=﹣（x+2）2+1

∴顶点坐标为（﹣2，1）；

故选B．

【点评】主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．除去用配方法外还可用公式法．

4．函数y=2x2﹣3x+4经过的象限是（）

A．一，二，三象限 B．一，二象限 C．三，四象限 D．一，二，四象限

【考点】二次函数的性质．

【分析】利用公式法先求顶点坐标，再判断经过的象限．

【解答】解：∵y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（ ， ），

∴y=2x2﹣3x+4的顶点坐标为（ ， ），

而a=2＞0，所以抛物线过第一，二象限．

故选B．

【点评】本题考查抛物线的顶点坐标和开口方向，能确定这两样，抛物线经过的象限就容易确定了．

5．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c

【考点】根的判别式．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系．

【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=0，

又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，

代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，

即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，

∴a=c．

故选A

【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

6．二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线（）

A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3

【考点】二次函数的性质．

【分析】因为二次函数y=x2+bx+c的图象上的两点（3，4）和（﹣5，4），纵坐标相等，所以，两点的连线平行于x轴，对称轴为两点连线段的垂直平分线，可知对称轴为两点横坐标的平均数．

【解答】解：∵抛物线上两点（3，4）和（﹣5，4），纵坐标相等，

∴对称轴为直线x= =﹣1．故选A．

【点评】本题考查了抛物线的对称性，对称轴的求法．

7．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（）

A．﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】根据新定义a★b=a2﹣3a+b，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解．

【解答】解：依题意，原方程化为x2﹣3x+2=6，

即x2﹣3x﹣4=0，

分解因式，得（x+1）（x﹣4）=0，

解得x1=﹣1，x2=4．

故选B．

【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程．根据新定义，将方程化为一般式，将方程左边因式分解，得出两个一次方程求解．

8．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB= ，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（）

A．（﹣1， ） B．（﹣1， ）或（﹣2，0） C．（ ，﹣1）或（0，﹣2） D．（ ，﹣1）

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【分析】需要分类讨论：在把△ABO绕点O顺时针旋转150°和逆时针旋转150°后得到△A1B1O时点A1的坐标．

【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB= ，AB=1，

∴tan∠AOB= = ，

∴∠AOB=30°．

如图1，当△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，

则易求A1（﹣1，﹣ ）；

如图2，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，

则易求A1（﹣2，0）；

综上所述，点A1的坐标为（﹣1，﹣ ）或（﹣2，0）；

故选B．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣﹣旋转．解题时，注意分类讨论，以防错解．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为　60°　．

【考点】旋转的性质．

【专题】计算题．

【分析】先利用互余得到∠A=60°，再根据旋转的性质得CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′=60°，从而得到旋转角的度数．

【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠A=60°，

∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，

∴CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，

∴△ACA′为等边三角形，

∴∠ACA′=60°，

即旋转角度为60°．

故答案为60°．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形，

10．如图，直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　（7，3）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转；一次函数的性质．

【专题】图表型．

【分析】根据旋转的性质﹣﹣旋转不改变图形的形状和大小解答．

【解答】解：直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，4）两点，由图易知点B′的纵坐标为O′A=OA=3，横坐标为OA+O′B′=OA+OB=7．则点B′的坐标是（7，3）．

故答案为：（7，3）．

【点评】解题时需注意旋转前后线段的长度不变．

11．已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则（a+b）2015的值为　﹣1　．

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．

【解答】解：点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，得

a﹣1=﹣2，b﹣1=﹣1，

解得a=﹣1，b=0，

（a+b）2015=（﹣1）2015=﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．

12．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1　＞　y2（填“＞”、“＜”或“=”）．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．

【解答】解：∵a=1＞0，

∴二次函数的图象开口向上，

由二次函数y=（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x=1，

∵x1＞x2＞1，

∴两点均在对称轴的右侧，

∵此函数图象开口向上，

∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

∵x1＞x2＞1，

∴y1＞y2．

故答案为：＞．

【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．

13．若抛物线y= x2+x+c与x轴没有交点，则直线y=cx+1经过　一、二、三　象限．

【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线y= x2+x+c与x轴没有交点可知：△＜0，从而可求得c的取值范围，然后根据一次函数的性质可判断出直线经过的象限．

【解答】解：∵抛物线y= x2+x+c与x轴没有交点，

∴△＜0，即12﹣4× ×c＜0．

解得：c ．

∵c＞0，

∴直线y=cx+1经过一、二、三象限．

故答案为：一、二、三．

【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、一次函数的图象和性质，确定出c的取值范围是解题的关键．

14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　0　．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】数形结合．

【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．

【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，

∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），

∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），

把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，

∴4a﹣2b+c=0，

故答案为：0．

【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．

15．若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为　0或2或﹣2　．

【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】当m=0时，函数为一次函数与x轴有一个交点，当m≠0时，△=0时，抛物线与x轴只有一个交点．

【解答】解：当m=0时，函数为y=2x+1，其图象与x轴只有一个交点．

当m≠0时，△=0，即（m+2）2﹣4m（ ）=0．

解得：m=±2．

∴当m=0，或m=±2时，函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点．

故答案为：0或2或﹣2．

【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．解方程：

（1）x﹣2=x（x﹣2）

（2）x2﹣4x﹣1=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

【分析】（1）移项后提取公因式后采用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）采用配方法因式分解即可．

【解答】解：（1）移项得：（x﹣2）﹣x（x﹣2）=0，

提取公因式得：（x﹣2）（1﹣x）=0，

即：x﹣2=0或1﹣x=0，

解得：x=2或x=1；

（2）移项得：x2﹣4x=1，

配方得：x2﹣4x+4=1+4

即：（x﹣2）2=5，

解得：x﹣2= 或x﹣2=﹣ ，

即：x=2+ 或x=2﹣ ．

【点评】本题考查了因式分解法与配方法因式分解的知识，解题的关键是能够根据一元二次方程的不同形式采用合适的方法求解，难度不大，属于基础知识．

17．已知a是一元二次方程x2+3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．

【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．

【专题】计算题；整体思想．

【分析】先把括号内通分，再把各分式的分子、分母因式分解得到原式= ? ，约分得到原式= ；根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a﹣2=0，然后变形得到a2+3a=2，

再利用整体代入进行计算即可．

【解答】解：原式= ÷

= ?

=

= ，

∵a是一元二次方程x2+3x﹣2=0的实数根，

∴a2+3a﹣2=0，

∴a2+3a=2，

∴原式= = ．

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母分解因式，若有括号，先把括号内通分，然后约分，得到最简分式或整式，再把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了一元二次方程的解的定义以及整体思想的运用．

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），

B（﹣1，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；

（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后的△A2B2C2；

（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．

【专题】作图题．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可；

（3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．

【解答】解：（1）△A1B1C如图所示；

（2）△A2B2C2如图所示；

（3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．

19．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．

求证：FD=BE．

【考点】全等三角形的判定与性质；中心对称．

【专题】证明题；压轴题．

【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．

【解答】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，

∴OB=OD，OA=OC，

∵AF=CE，

∴OF=OE，

∵在△DOF和△BOE中

∴△DOF≌△BOE（SAS），

∴FD=BE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，中心对称的应用，主要考查学生的推理能力．

20．如图所示，抛物线 与直线 交于A，B两点．

（1）A点坐标为　（﹣ ，﹣ ）　，B点坐标为　（3，﹣9）　；

（2）当自变量x的取值范围为　x＞0　时，y1的值随x的增大而增大；

（3）当﹣1≤x＜2时，函数y1的取值范围为　﹣1≤y≤0，﹣4＜y≤0　；

（4）当自变量x的取值范围为　x＜﹣ 　时，y1＜y2．

【考点】二次函数的性质；二次函数与不等式（组）．

【分析】（1）两个函数联立方程求得交点坐标即可；

（2）（3）（4）根据图象得出答案即可．

【解答】解：（1）由题意得：﹣x2=﹣ x﹣ ，

解得：x1=﹣ ，x2=3，对应y=﹣ ，﹣9，

A点坐标为（﹣ ，﹣ ），B点坐标为（3，﹣9）；

（2）当x＞0时，y1的值随x的增大而增大；

（3）当﹣1≤x＜2时，函数y1的取值范围为﹣1≤y≤0，﹣4＜y≤0；

（4）当x＜﹣ 时，y1＜y2．

故答案为：（﹣ ，﹣ ），（3，﹣9）；x＞0；﹣1≤y≤0，﹣4＜y≤0；当x＜﹣ ．

【点评】此题考查二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题，两个函数联立方程是解决问题的关键．

21．（10分）小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣ （t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

【考点】二次函数的应用．

【专题】应用题．

【分析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；

（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．

【解答】解：（1）∵点C到ED的距离是11米，

∴OC=11，

设抛物线的解析式为y=ax2+11，由题意得B（8，8），

∴64a+11=8，

解得a=﹣ ，

∴y=﹣ x2+11；

（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为11﹣5=6（米），

∴6=﹣ （t﹣19）2+8，

∴（t﹣19）2=256，

∴t﹣19=±16，

解得t1=35，t2=3，

∴35﹣3=32（小时）．

答：需32小时禁止船只通行．

【点评】考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合（1）得到h的最大高度．

22．（10分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

【考点】二次函数的应用．

【专题】销售问题．

【分析】（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；

（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；

（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得

，

解得 ，

∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）；

（2）W=（x﹣10）（﹣2x+60）

=﹣2x2+80x﹣600

=﹣2（x﹣20）2+200，

对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，

∵10≤x≤18，

∴当x=18时，W最大，最大为192．

即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．

（3）由150=﹣2x2+80x﹣600，

解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）

答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．

【点评】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．

23．（11分）如图，抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）直接把A点和C点坐标代入y=﹣ x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；

（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣ ，则D（ ，0），则利用勾股定理计算出CD= ，然后分类讨论：如图1，当CP=CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（ ，4）；当DP=DC时，易得P2（ ， ），P3（ ，﹣ ）；

（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣ x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣ x2+ x+2），则FE=﹣ x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF=S△BEF+S△CEF= ?4?EF=﹣x2+4x，加上S△BCD= ，所以S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+ （0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+mx+n得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2；

（2）存在．

抛物线的对称轴为直线x=﹣ = ，

则D（ ，0），

∴CD= = = ，

如图1，当CP=CD时，则P1（ ，4）；

当DP=DC时，则P2（ ， ），P3（ ，﹣ ），

综上所述，满足条件的P点坐标为（ ，4）或（ ， ）或（ ，﹣ ）；

（3）当y=0时，=﹣ x2+ x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+2，

设E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣ x2+ x+2），

∴FE=﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）=﹣ x2+2x，

∵S△BCF=S△BEF+S△CEF= ?4?EF=2（﹣ x2+2x）=﹣x2+4x，

而S△BCD= ×2×（4﹣ ）= ，

∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD

=﹣x2+4x+ （0≤x≤4），

=﹣（x﹣2）2+

当x=2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为 ，此时E点坐标为（2，1）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．