2016-06-14
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.函数的周期性
(1)周期性的定义:
对定义域内的任意 ,若有 (其中 为非零常数),则称函数 为周期函数, 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;
⑶函数周期的判定
①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论)
⑷与周期有关的结论
① 或 的周期为 ;
② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ;
③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ;
④ 的图象关于点 中心对称,直线 轴对称 周期为4 ;
8.基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数: ( ;⑵指数函数: ;
⑶对数函数: ;⑷正弦函数: ;
⑸余弦函数: ;(6)正切函数: ;⑺一元二次函数: ;
⑻其它常用函数:
1 正比例函数: ;②反比例函数: ;特别的
2 函数 ;
.二次函数:
⑴解析式:
①一般式: ;②顶点式: , 为顶点;
③零点式: 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。
.函数图象:
⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换:
1 平移变换:ⅰ ,2 正左负右
ⅱ 正上负下
3 伸缩变换:
ⅰ , ( 纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 倍;
ⅱ , ( 横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 倍;
4 对称变换:ⅰ ;ⅱ ;
ⅲ ; ⅳ ;
5 翻转变换:
ⅰ 右不动,右向左翻( 在 左侧图象去掉);
ⅱ 上不动,下向上翻(| |在 下面无图象);
.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数 与 图象的对称性,即证明 图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在 的图象上,反之亦然;
注:
①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为:f(2a-x, y)=0;
③曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
④f(a+x)=f(b-x) (xR) y=f(x)图像关于直线x= 对称;
特别地:f(a+x)=f(a-x) (xR) y=f(x)图像关于直线x=a对称;
⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;
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