定比分点

定比分点公式(向量P1P= 向量PP2)

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 ，使 向量P1P= 向量PP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+OP2)(1+(定比分点向量公式)

x=(x1+x2)/(1+),

y=(y1+y2)/(1+)。(定比分点坐标公式)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要条件

若b0，则a//b的重要条件是存在唯一实数，使a=b。

a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件

ab的充要条件是 a b=0。

ab的充要条件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.

设a=(x，y)，b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即共同起点，指向被减

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且∣a∣=∣∣ ∣a∣。

当0时，a与a同方向;

当0时，a与a反方向;

当=0时，a=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数，都有a=0。

注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。

实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的∣∣倍;

当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的∣∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(a) b=(a b)=(a b)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(+)a=a+a.

数对于向量的分配律(第二分配律)：(a+b)=a+b.

数乘向量的消去律：① 如果实数0且a=b，那么a=b。② 如果a0且a=a，那么=。

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0〈a,b〉

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a b。若a、b不共线，则a b=|a| |b| cos〈a，b〉;若a、b共线，则a b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a b=x x'+y y'。

向量的数量积的运算律

a b=b a(交换律);

(a) b=(a b)(关于数乘法的结合律);

(a+b) c=a c+b c(分配律);

向量的数量积的性质

a a=|a|的平方。

ab 〈=〉a b=0。

|a b||a| |b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a b) c例如：(a b)^2a^2 b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a b=a c (a0)，推不出 b=c。

3、|a b||a| |b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作ab。若a、b不共线，则ab的模是：∣ab∣=|a| |b| sin〈a，b〉;ab的方向是：垂直于a和b，且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b共线，则ab=0。

向量的向量积性质：

∣ab∣是以a和b为边的平行四边形面积。

aa=0。

a‖b〈=〉ab=0。

向量的向量积运算律

ab=-b

(a)b=(ab)=a(

(a+b)c=ac+bc.

注：向量没有除法，向量AB/向量CD是没有意义的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣∣a+b∣∣a∣+∣b∣;

① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;

② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣∣a-b∣∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;

② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。