人教版2015初三数学上册期中二 次函数试题(含答案解析)

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）

A.（1，3） B.（ 1，3） C.（1， 3） D.（ 1， 3）

2.把抛物线 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）

A. B. C. D.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为 ,则下列结论正确的是（ ）

A. B. ＜0, ＞0

C. ＜0, ＜0 D. ＞0, ＜0

4.在二次函数 的图象上，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）

A. 1 B. 1 C. -1 D. -1

5.二次函数 无论 取何值，其图象的顶点都在( )

A.直线 上 B.直线 上

C.x轴上 D.y轴上

6. 抛物线 轴交点的纵坐标为（）

A.-3 B.-4 C.-5 Ｄ.-1

7.已知二次函数 ，当 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则当 取 时，函数值为（）

A. B. C. D.c

8.已知二次函数 ，当 取任意实数时，都有 ， 则 的取值范围是（ ）

A． ． C． D．

9.如图所示是二次函数 图象的一部分，图象过点 二次函数图象的对称轴为 给出四个结论：① ② ③ ④ ，

其中正确的结论是( )

A.②④ B.①③ C.②③ D.①④

10.已知二次函数 的图象如图所示,其对称轴为直线 ，给出下列结论:(1) ；(2) ＞0；(3) ；(4) ；(5) .

则正确的结论是（）

A.(1)(2)(3) (4) B.(2)(4)(5)

C.(2)(3)(4) D.(1) (4)(5)

二、填空 题（每小题3分，共24分）

11.在平面直角坐标系 中，直线 为常数）与抛物线 交于 两点，且 点在 轴 左侧， 点 的坐标为（0,－4），连接 , .有以下说法：

① ；②当 时， 的值随 的增大而增大；③当 － 时， ；④△ 面积的最小值为4 ，其中正确的是 .（写出所有正确说法的序号）

12.把 抛物线 的图象先向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得图象的解析式是 则 .

13.已知抛物线 的顶点为 则 , .

14.如果函数 是二次函数，那么k的值一定是 .

15.将二次函数 化为 的形式，则 ．

16.二次函数 的图象是由函数 的图象先向 （左、右）平移

个单位长度，再向 （上、下）平移 个单位长度得到的.

17.如图，已知抛物线 经过点（0,－3）,请你确定一个 的值 ，使该抛物线与 轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间,你所确定的 的值是 ．

18.如图所示，已知二次函数 的图象经过（-1,0）和（0,-1）两点，则化简代数式 = .

三 、解答题（共46分）

19.（6分）已知抛物线的顶点为 ,与y轴的交点为 求抛物线的解析式.

20.（6分）已知抛物线的解析式为

(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；

(2)若此抛物线与直线 的一个交点在y轴上，求m的值.

21.（8分）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为 （单位：米），现以 所在直线为 轴，以抛物线的对称轴为 轴建立如图所示 的平面直角坐标系,设坐标原点为 .已知 米，设抛物线解析式为 .

（1）求 的值；

（2）点 （-1， ）是抛物线上一点，点 关于原点 的对称点为点 ，连接 , , ，求△ 的面积.

22.（8分 ）已知：关于 的方程

(1)当 取何值时，二次函数 的对称轴是 ；

(2)求证： 取任何实数时，方程 总有实数根.

23.（8分）已知抛物线 与 轴有两个不同的交点．

(1)求 的取值范围；

(2)抛物线 与 轴的两交点间的距离为2，求 的值.

24.（10分）心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力 与提出概念所用的时间 (单位：分钟)之间满足函数关系式 的值越大,表示接受能力越强.

(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力 的值是多少 ?

(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.

人教版2015初三数学上册期中二 次函数试题(含答案解析)参考答案：

1.A 解析：因为 的图象的顶点坐标为 ,所以 的图象的顶点坐标为（1，3）.

2.D 解析：把抛物线 向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 .

点拨：抛物线的平移规律是左加右减，上加下减.

3.A 解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为 ,∴ 这条抛物线的顶点坐标为 .观察函数的图象发现它的顶点在第一象限，∴ .

4.A 解析：把 配方，得 .∵ -1 0,∴ 二次函数图象的开口向下.又图象的对称轴是直线 ,∴ 当 1时， 随 的增大而增大.

5. B 解析：顶点为 当 时， 故图象顶点在直线 上.

6.C 解析：令 ，得

7.D 解析：由题意可知 所以 所以当

8.B 解析：因为当 取任意实数时，都有 ,又二次函数的图 象开口向上，所以图象与 轴没有交点，所以

9.B 解 析:由图象可知 .当 时， 因此只有①③正确.

10. D 解析：因为二次函数与 轴有两个交点，所以 .（1）正确.抛物线开口向 上，所以 0.抛物线与 轴交点在 轴负半轴上，所以 .又 , （2）错误.(3)错误.由图象可知当 所以（4）正确.由图象可知当 ,所以（5）正确.

11.③④ 解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用.

设 点A的坐标为（ , ）,点B的坐标 为（ ）.

不妨设 ,解 方程组 得 ∴ ( ,- ）,B（3,1）.

此时 , ,∴ .而 =16,∴ ≠ ,∴ 结论①错误.

当 = 时， 求出A(-1,- ),B（6,10）,

此时 ( )(2 )=16.

由① 时， ( )( )=16.

比较两个结果发现 的值相等.∴ 结论②错误.

当 - 时，解方程组 得出A（-2 ，2）,B （ ，-1）,

求出 12, 2, 6,∴ ,即结论③正确.

把方程组 消去y得方程 ,∴ , .

∵ = ?| | OP?| |= ×4×| |

=2 =2 ,

∴ 当 时， 有最小值4 ，即结论④正确.

12.11 解析：

把它向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得

即 ∴

∴ ∴

13.-1 解析： 故

14. 0 解析：根据二次函数的定义，得 ，解得 .又∵ ，∴ ．∴ 当 时，这个函数是二次函数．

15. 解析：

16.左 3 下 2 解析：抛物线 是由 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的.

17. （答案不唯一） 解析：由题意可知 要想抛物线与 轴的一个交点在（1,0）和（3，0）之间，只需 异号即可，所以

18. 解析：把（-1，0）和（0，-1）两点代入 中，得

， ，∴ .

由图象可知，抛物线对称轴 ，且 ，∴ ，∴ .

∴

= ,故本题答案为 ．

19.解:∵ 抛物线的顶点为 ∴ 设其解析式为 ①

将 代入①得 ∴

故所求抛物线的解析式为 即

20.(1)证明：∵

∴ ∴ 方程 有两个不相等的实数根.

∴ 抛物线 与 轴必有两个不同的交点.

(2)解:令 则 解得

21. 分析：（1）求出点A或点B的坐标，将其代入 ，即可求出a的值；

（2）把点 代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用 求△BCD的 面积.

解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知 ,

∴ （4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a .

（2）如图所示，过点C作 于点E，过点D作 于点F.

∵ a= ,∴ -4.当 -1时，m= × -4=- ,∴ C（-1,- ）.

∵ 点C关于原点O的对称点为点D，∴ D（1, ）.∴ .

∴ ×4× + ×4× =15.

∴ △BCD的面积为15平方米.

点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解.

22.(1)解：∵ 二次函数 的对称轴是 ，

∴ ,解得

经检验 是原方程的解.

故 时，二次函数 的对称轴是 .

（2）证明：①当 时，原方程变为 ，方程的解为 ；

②当 时，原方程为一元二次方程， ，

当 方程总有实数根，∴

整理得，

∵ 时, 总成立,

∴ 取任何实数时，方程 总有实数根.

23.解:（1）∵ 抛物线与 轴有两个不同的交点，∴ ＞0，即 解得c ＜ .

(2)设抛物线 与 轴的两交点的横坐标为 ，

∵ 两交点间的距离为2，∴ .由题意，得 ,解得 ,

∴ ， ．

24.解:(1)当 时, .

(2)当 时, ,

∴ 用8分钟与用10分钟相比 ,学生的接受能力减弱了;

当 时, ,

∴ 用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.