人教版2015初三年级数学上学期期中检测题(含答案解析)

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下面关于 的方程中：① ；② ；③ ；

④（ ） ；⑤ -1．一元二次方程的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D． 4

2.下列方程中，一定有实数解的是（ ）

A. B. C. D.

3.要使方程 + 是关于 的一元二次方程，则（ ）

A． B．

C． 且 D． 且

4.若 ，则 的值是（ ）

A． B． C． D．

5.若关于 的一元二次方程 有实数根，则（ ）

A． B． C． D．

6. 一元二次方程 的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根

7.如果关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是（ ）

A. B. 且 C. D. 且

8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 ，则平均每次降价（ ）

A． B． C． D．

9.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）

A. B. C. D.

10．已知 分别是三角形的三边长，则方程 的根的情况是（）

A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．若 是关于 的一元二次方程，则不等式 的解集是________．

12．已知关于 的方程 的一个根是 ，则 _______．

13．关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则实数 的值是_______.

14．若（ 是关于 的一元二次方程，则 的值是________．

15．若 且 ，则一元二次方程 必有一个定根，它是_______．

16.若矩形的长是 ，宽是 ，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．

17．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．

18．关于 的一元二次方程 的一个根为1，则 方程的另一根为 .

三、解答题（共46分）

19.（5分）在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： ，求方程（4 3） 的解．

20.（5分）求证：关于 的方程 有两个不相 等的实数根．

21. （5分）方程 较大根为 ，方程 较小根为 ，求 的值.

22．（6分）若方程 的两根是 和 ，方程 的正根是 ，试判断以 为边长的 三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．

23.（6分）已知关于 的方程（ 的两根之和为 ，两根之差为1，其中 是△ 的三边长 ．

（1）求方程的根；（2）试判断△ 的形状．

24.（5分 ）在长为 ，宽为 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长.

25．（6分）某服装厂生产一批西服，原来每件的成 本价是500元，销售价为625元，经市场预测 ，该产品销售价第一个月将降低 ，第二个月比第一个月提高 ，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？

26．(8分) 有一批图形计算器，原 售价 为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为7 60元．依次类推，即每多买一台,则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：

（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？

（2）若此单位恰好花费7 500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？

人教版2015初三年级数学上学期期中检测题(含答案解析)参考答案：

1.B 解析：方程①与 的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二 次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为 ，不论 取何值，都不 为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程，也可排除.故一元二次方程仅有2个．

2.B 解析：D选项中当 时方程无实数根，只有B正确．

3.B 解析：由 ，得 ．

4．C 解析：用换元法求值，可设 ，原式可化为 ，解得 ，

5.D 解析：把原方程移项， ．由于实数的平方均为非负数，故 ，

则 ．

6.B 解析：∵ ，∴ 方程有两个不相等的实数根.

7.B 解析：依题意，得 解得 且 .故选B．

8.A　 解析：设平均每次降价 由题意得， 所以 所以 所以平均每次降价

9.C 解析：设这个两位数的十位数字为 ，则个位数字为 .依题意，得 ，解得 .∴ 这个两位数为 .故选 .

10.A解析：因为 又因为 分别是三角形的三边长，所以 所以 所以方程没有实数根.

11． 解析：不可忘记 ．

12.± 解析：把 代入方程，得 ，则 ，所以 ．

13. 解析：∵ 关于 的一元二次方程 的一个根为 ，

∴ 满足方程 ，∴ ，解得 .

又∵ ，即 ，∴ 实数 的值是 ．

14． 解析：由 得 或 ．

15．1 解析：由 ，得 ，原方程可化为 ，

解得 ．

16． 解析：设正方形的边长为 ，则 ，解得 ，由于边长不能为负，故 舍去，故正方形的边长为 ．

17. 解析：设其中的一个偶数为 ，则 ．解得 则另一个偶数为 ．这两数的和是 ．

18. 解析：把 代入 化为

19.解：∵ ，∴ ．

∴ ．∴ ．∴ ．

20.证明：∵ 恒成立，

∴ 方程有两个不相等的实数根．

21. 解：将方程 因式分解，得 ，

∴ 或 ，∴ ， . ∴ 较大根为1，即 .

将方程 变形为

，

∴ ，∴ ，

∴ ， ∴ 或 ，

∴ ， . ∴ 较小根为 ，即 .∴ .

22．解：解方程 ，得 ．

方程 的两根是 ．

所以 的值分别是 ．

因为 ，所以以 为边长的三角形不存在．

点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用三角形的三边关系来判断．

23．解：（1）设方程的两根为 ，则

解得

（2）当 时， ，所以 .

当 时,

所以 ，所以 ，

所以△ 为等边三角形．

24．解：设小正方形的边长为 .

由题意得， 解得

所以截去的小正方形的边长 为 .

25．解：设该产品的成本价平均每月应降低 ．

,

整理，得 ，

解得 （舍去 ） ， ．

答：该产品的成本价平均每月应降低 ．

26.解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用 （元）；在乙公司购买需要用 （元） （元）．应去乙公司购买.

（2）设该单位买 台，若在甲公司购买则需要花费 元；若在乙公 司购买则需要花费 元.

①若该单位是在甲公司花费7 500元购买的图形计算器，

则有 ，解得 ．

当 时，每台单价为 ，符合题意.

当 时，每台单价为 ，不 符合题意，舍去．

②若该单位是在乙公司花费7 500元购买的图形计算器，

则有 ，解得 ，不符合题意，舍去．

故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了 台．