安微师范学院2015初三数学上学期期中试卷(含答案解析)

一、选择题（每题4分，共40分）

1．（4分）下列方程，是一元二次方程的是（）

①3x2+x=20，②2x2﹣3xy+4=0，③x2 =4，④x2=0，⑤x2﹣3x﹣4=0．

A． ①② B． ①②④⑤ C． ①③④ D． ①④⑤

2．（4分）关于x的方程ax2﹣2x+1=0中，如果a＜0，那么方程根的情况是（）

A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根

C． 没有实数根 D． 不能确定

3．（4分）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）

A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D．

4．（4分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）

A． 2012 B． 2013 C． 2014 D． 2015

5．（4分）将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）

A． 向左平移2个单位 B． 向右平移2个单位

C． 向上平移2个单位 D． 向下平移2个单位

6．（4分）已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（）

A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2

7．（4分）某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（）

A． 8.5% B． 9% C． 9.5% D． 10%

8．（4分）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）

A． B． C． D．

9．（4分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2， 共有的性质是（）

A． 开口向下 B． 对称轴是y轴

C．都有最高点 D． y随x的增大而增大

10．（4分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：

①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0

其中正确结论的有（）

A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④

二、填空题（每题5分，共25分）

11．（5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=．

12．（5分）一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

13．（5分）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是．

14．（5分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．

15．（5分）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立 平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣ （x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．

三、解答题（共85分）

16．（10分）解下列一元二次方程：

（1）3x2﹣4x﹣1=0

（2）4x2﹣8x+1=0（用配方法）

17．（8分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．

18．（8分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．

（1）用配方法求其 图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；

（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．

19．（10分）一 元二次方程x2+2x+k﹣1=0的实数解是x1和x2．

（1）求k的取值范围；

（2）如果y= + ﹣x1x2，求y的最小值．

20．（10分）如图，已知抛物线y=ax2﹣ x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y= x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y= x﹣2与y轴的交点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：△ABC为直角三角形．

21．（13分）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．

（1）求出y与x的函数关系式．

（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；

（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是 ]．

22．（12分）如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．

（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标 ．

（2）探究下列问题：

①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．

②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？

23．（14分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k是实数）．

教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．

学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：

①存在函数，其图象经过（1，0）点；

②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；

③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．

安微师范学院2015初三数学上学期期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每题4分，共40分）

1．（4分）下列方程，是一元二次方程的是（）

①3x2+x=20，②2x2﹣3xy+4=0，③x2 =4，④x2=0，⑤x2﹣3x﹣4=0．

A． ①② B． ①②④⑤ C． ①③④ D． ①④⑤

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

解答： 解：①该方程符合一元二次方程的定义．故①是一元二次方程；

②该方程中含有2个未知数．故②不是一元二次方程；

③该方程是分式方程．故③不是一元二次方程；

④该方程符合一元二次方程的定义．故④是一元二次方程；

⑤该方程符合一元二次方程的定义．故⑤是一元二次方程；

综上所述，是一元二次方程的是①④⑤．

故选D．

点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．（4分）关于x的方程ax2﹣2x+1=0中，如果a＜0，那么方程根的情况是（）

A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根

C． 没有实数根 D． 不能确定

考点： 根的判别式．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 由a＜0，得到原方程为一元二次方程，再计算△=b2﹣4ac=22﹣4a=4﹣4a，可得到△＞0，根据根的判别式即可得到原方程的根的情况．

解答： 解：∵a＜0，

∴原方程为一元二次方程；

∵△=b2﹣4ac=22﹣4a=4﹣4a，

而a＜0，即﹣4a＞0，

∴△＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根．

故选B．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

3．（4分）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）

A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D．

考点： 一元二次方程的解．

分析： 把x=0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0得出a2﹣1=0，求出a=±1，再根据一元二次方程的定义判断即可．

解答： 解：把x=0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0得：a2﹣1=0，

解得：a=±1，

∵方程为一元二次方程，

∴a+1≠0，

∴a≠﹣1，

∴a=1，

故选A．

点评： 本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程a2﹣1=0和a+1≠0．

4．（4分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）

A． 2012 B． 2013 C． 2014 D． 2015

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．

解答： 解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），

∴m2﹣m﹣1=0，

解得 m2﹣m=1．

∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．

故选：D．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．

5．（4分）将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）

A． 向左平移2个单位 B． 向右平移2个单位

C． 向上平移2个单位 D． 向下平移2个单位

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 根据图象左移加，可得答案．

解答： 解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位，

故选：A．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．

6．（4分）已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（）

A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2

考点： 一元二次方程的解．

专题： 方程思想 ．

分析： 由一元二次方程的根与系数的关系x1?x2= 、以及已知条件求出方程的另一根是﹣1，然后将﹣1代入原方程，求a﹣b的值即可．

解答： 解：∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），

∴x1?（﹣a）=a，即x1=﹣1，

∴1﹣b+a=0，

∴a﹣b=﹣1．

故选A．

点评： 本题主要考查了一元二次方程的解．解答该题时，还借用了一元二次方程的根与系数的关系x1?x2= ．

7．（4分）某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（）

A． 8.5% B． 9% C． 9.5% D． 10%

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 增长率问题．

分析： 降低后的价格=降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是（1﹣x），那么第二次后的价格是（1﹣x）2，即可列出方程求解．

解答： 解：设平均每次降价的百分率是x，则100×（1﹣x）2=81，

解之得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）．

则x=0.1=10%

答：平均每次降价的百分率是10%．

故选：D．

点评： 本题类似增长率问题，规律为：基数?（1﹣降低率）n=n次降低后到达的数．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

8．（4分）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）

A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；正比例函数的图象．

专题： 数形结合．

分析： 本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）

解答： 解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；

B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；

C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；

D、函数y=ax中，a＞ 0，y=ax2中，a＜0，故D错误．

故选：C．

点评： 函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．

9．（4分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2， 共有的性质是（）

A． 开口向下 B． 对称轴是y轴

C． 都有最高点 D． y随x的增大而增大

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据二次函数的性质解题．

解答： 解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；

（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；

（3）y= x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．

故选：B．

点评： 考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：

①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．

②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛 物线的最高点．

10．（4分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：

①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0

其中正确结论的有（）

A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；

把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；

把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；

由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；

故选：B．

点评： 本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．

二、填空题（每题5分，共25分）

11．（5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增 长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=a（1+x）2．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

专题： 计算题．

分析： 由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．

解答： 解：∵一月份新产品的研发资金为a元，

2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增 长率都是x，

∴2月份研发资金为a×（1+x），

∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．

故填空答案：a（1+x）2．

点评： 此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．

12．（5分）一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜ ．

考点： 根的判别式．

专题： 计算题．

分析： 根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，然后解不等式即可．

解答： 解：根据题意得△=（﹣3）2 ﹣4×2×k＞0，

解得k＜ ．

故答案为：k＜ ．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

13．（5分）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是x1=﹣1，x2=3．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

专题： 计算题．

分析： 方程右边整体移到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

解答： 解：方程变形得：（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，

分解因式得：（x+1）（x﹣3）=0，

解得：x1=﹣1，x2=3．

故答案为：x1=﹣1，x2=3．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少 有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

14．（5分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 数形结合．

分析： 依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．

解答： 解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，

∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），

∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），

把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，

∴4a﹣2b+c=0，

故答案为：0．

点评： 本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．

15．（5分）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣ （x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣ （x+6）2+4．

考点： 二次函数的应用．

专题： 数形结合．

分析： 根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．

解答： 解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，

将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，

解得：a=﹣ ，

∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣ （x+6）2+4．

故答案为：y=﹣ （x+6）2+4．

点评： 此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．

三、解答题（共85分）

16．（10分）解下列一元二次方程：

（1）3x2﹣4x﹣1=0

（2）4x2﹣8x+1=0（用配方法）

考点： 解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．

专题： 计算题．

分析： （1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；

（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．

解答： 解：（1）这里a=3，b=﹣4，c=﹣1，

∵△=16+12=28，

∴x= = ；

（2）方程整理得：x2﹣2x=﹣ ，

配方得：x2﹣2x+1= ，即（x﹣1）2= ，

开方得：x﹣1=± ，

解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

17．（8分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系．

专题： 计算题；证明题．

分析： 若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方 程根的情况，第二小题可以直接代入x=﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根．

解答： 证明：（1）∵a=2，b=k，c=﹣1

∴△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+8，

∵无论k取何值，k2≥0，

∴k2+8＞0，即△＞0，

∴方程2x2+kx﹣1=0有两个不相等的实数根．

解：（2）把x=﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1=0

∴k=1

∴原方程化为2x2+x﹣1=0，

解得：x1=﹣1，x2= ，即另一个根为 ．

点评： 本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型．

18．（8分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．

（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；

（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．

考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的三种形式．

专题： 数形结合．

分析： （1）配方后求出顶点坐标即可；

（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．

解答： 解：（1）y=x2﹣4x+3

=x2﹣4x+4﹣4+3

=（x﹣2）2﹣1，

所以顶点C的坐标是（2，﹣1），

当x＜2时，y随x的增大而减少；

当x＞2时，y随x的增大而增大；

（2）解方程x2﹣4x+3=0

得：x1=3，x2=1，

即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），

过C作CD⊥AB于D，

∵AB=2，CD=1，

∴S△ABC= AB×CD= ×2×1=1．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．

19．（10分）一元二次方程x2+2x+k﹣1=0的实数解是x1和x2．

（1）求k的取值范围；

（2）如果y= + ﹣x1x2，求y的最小值．

考点： 根的判别式；根与系数的关系；一次函数的性质．

专题： 计算题．

分析： （1）根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2，x1x2=k﹣1，则y=（x1+x2）2﹣3x1x2=4﹣3（k﹣1）=﹣3k+7，然后利用一次函数的性质求解．

解答： 解：（1）根据题意得△=22﹣4（k﹣1）≥0，

解得k≤2；

（2）根据题意得x1+x2=﹣2，x1x2=k﹣1，

y=（x1+x2）2﹣3x1x2=4﹣3（k﹣1）=﹣3k+7，

因为k≤2，

而y随k增大而减小，

所以当k=2时，y最小值=﹣3×2+7=1．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系以及一次函数的性质．

20．（10分）如图，已知抛物线y=ax2﹣ x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y= x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y= x﹣2与y轴的交点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：△ABC为直角三角形．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）由直线y= x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，则B、C坐标可求．进而代入抛物线y=ax2﹣ x+c，即得a、c的值，从求得抛物线解析式．

（2）求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理．本题中未提及特殊角度，而已知A、B、C坐标，即可知AB、AC、BC，则显然可用勾股定理证明．

解答： （1）解：∵直线y= x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，

∴B（4，0），C（0，﹣2），

∵y=ax2﹣ x+c过B、C两点，

∴ ，

解得 ，

∴y= x2﹣ x﹣2．

（2）证明：如图1，连接AC，

∵y= x2﹣ x﹣2与x负半轴交于A点，

∴A（﹣1，0），

在Rt△AOC中，

∵AO=1，OC=2，

∴AC= ，

在Rt△BOC中，

∵BO=4，OC=2，

∴BC=2 ，

∵AB=AO+BO=1+4=5，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC为直角三角形．

点评： 本题考查了二次函数图象的基本性质，最值问题等知识点，难度适中，适合学生巩固知识．

21．（13分）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．

（1）求出y与x的函数关系式．

（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；

（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是 ]．

考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用．

专题： 销售问题．

分析： （1）根据销售量=240﹣（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关系即可；

（2）根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价；

（3）设一个月内获得的利润为w元，根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答： 解：（1） ，

∴y=﹣4x+480（x≥60）；

（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，

解得，x1=70，x2=50（不合题意舍去），

∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．

（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得

w=（x﹣40）（﹣4x+480），

=﹣4x2+640x﹣19200，

=﹣4（x﹣80）2+6400，

当x=80时，w的最大值为6400

∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．

点评： 本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，并涉及到了根据二次函数的最值公式，熟练记忆公式是解题关键．

22．（12分）如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．

（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．

（2）探究下列问题：

①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．

②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？

考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．

专题： 新定义．

分析： （1）根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可；

（2）①首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案；

②分别求出两函数解析式，进而得出平移规律．

解答： 解：（1）由题意可得出：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）；

（2）①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=（x+2）2﹣5，

∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=（x+2﹣1）2﹣5+1=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，

∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]；

②∵一个函数的特征数为[2，3]，

∴函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，

∵一个函数的特征数为[3，4]，

∴函数解析式为：y=x2+3x+4=（x+ ）2+ ，

∴ 原函数的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到．

点评： 此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求函数解析式，利用特征数得出函数解析式是解题关键．

23．（14分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k是实数）．

教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．

学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：

①存在函数，其图象经过（1，0）点；

②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；

③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题；分类讨论．

分析： ①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；

②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；

③根据二次函数的增减性，即可作出判断；

④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断．

解答： 解：①真；将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，

解得：k=0．

运用方程思想；

②假；反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；

③假；如k=1，﹣ = ，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；

④真；当k=0时，函数无最大、最小值；

k≠0时，y最= =﹣ ，

∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；

当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．

点评： 本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般．