凌海市2015九年级数学上学期期中试卷(含答案解析)

一、选择题

1．下列方程中是关于x的一元二次方程有（）个．

①ax2+bx+c=0；②x2+4=0；③ + =2；④ =3；⑤x3﹣2x+3=0；⑥（a2+1）x2﹣3x+5=0．

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

2．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ ax+a2=0的一个根，则a的值为（）

A． 1或4 B． ﹣1或﹣4 C． ﹣1或4 D． 1或﹣4

3．某品牌服装原价为1000元，连续两次降价a%后售价为640元，下列所列方程正确的是（）

A． 1000（1﹣2a）=640 B． 1000（1﹣a%）2=640

C． 1000（1﹣a）2=640 D． 1000（1﹣2a%）=640

4．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足 + =﹣1，则m的值是（）

A． 3 B． 1 C． 3或﹣ 1 D． ﹣3或1

5．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）

A． 20 B． 40 C． 100 D． 120

6．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）

A． 20% B． 27% C． 28% D． 32%

7．分式方程 ﹣1= 的解是（）

A． x=1 B． x=﹣1+ C． x=2 D． 无解

8．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）

A． 12 B． 12或15 C． 15 D． 不能确定

9．已知（a2+b2）（a2+b2﹣9）﹣10=0，则a2+b2的值为（）

A． ﹣1 B． 10 C． ﹣1或10 D． ﹣1和10

10．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，则 + 的值是（）

A． 7 或2 B． 7 C． 9 D． ﹣9

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．若方程3x2﹣10x+m=0有两个同号不等的实根，则m的取值范围是．

12．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=．

13．若把代数式2x2﹣4x﹣3化为2（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．

14．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为．

15．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，则代数式 的值为．

16．若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是．

17．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是．

18．△ABC的三边长a、b、c满足b+c=8，bc=a2﹣12a+52，则△ABC的周长等于．

三、解答题

19．用适当的方法解下列一元二次方程

①x2+3x+1=0

②42=25（x+3）2

③x（x﹣4）=2﹣8x

④2﹣8+15=0．

20．先化简，再求值： ，其中x满足x2+x﹣2=0．

21．a，b是方程x2+11x=﹣25的两根，求a +b 的值．

22．阅读下列例题：

解方程x2﹣|x|﹣2=0

解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（舍去）．

当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．

∴x1=2，x2=﹣2是原方程的根．

请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．

23．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

24．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．

25．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k2+k=0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

凌海市2015九年级数学上学期期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题

1．下列方程中是关于x的一元二次方程有（）个．

①ax2+bx+c=0；②x2+4=0；③ + =2；④ =3；⑤x3﹣2x+3=0；⑥（a2+1）x2﹣3x+5=0．

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 根据一元二次方程的定义进行判断即可．

解答： 解：

①当a=0时，不是一元二次方程；

②符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；

③不是整式方程，所以不是一元二次方程；

④不是整式方程，所以不是一元二次方程；

⑤未知数的最高次为3，所以不是一元二次方程；

⑥a2+1一定不为0，所以是一元二次方程；

综上可知是一元二次方程的为②⑥共两个，

故选：A．

点评： 本题主要考查一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知项的最高次数为2的整式方程．

2．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ ax+a2=0的一个根，则a的值为（）

A． 1或4 B． ﹣1或﹣4 C． ﹣1或4 D． 1或﹣4

考点： 一元二次方程的解．

专题： 计算题．

分析： 将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ ax+a2 =0，再解关于a的一元二次方程即可．

解答： 解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ ax+a2=0的一个根，

∴4+5a+a2=0，

∴（a+1）（a+4）=0，

解得a1=﹣1，a2=﹣4，

故选：B．

点评： 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．

3．某品牌服装原价为1000元，连续两次降价a%后售价为640元，下列所列方程正确的是（）

A． 1000（1﹣2a）=640 B． 1000（1﹣a%）2=640

C． 1000（1﹣a）2=640 D． 1000（1﹣2a%）=640

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 增长率问题．

分析： 等量关系为：原价×（1﹣下降率）2=640，把相关数值代入即可．

解答： 解：∵第一次降价后的价格为1000×（1﹣a%），

第二次降价后的价格为1000×（1﹣a%）×（1﹣a%）=1000×（1﹣a%）2，

∴方程为1000（1﹣a%）2=640．

故选B．

点评： 本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

4．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足 + =﹣1，则m的值是（）

A． 3 B． 1 C． 3或﹣1 D． ﹣3或1

考点： 根与系数的关系；根的判别式．

专题： 压轴题．

分析： 由于方程有两个不相等的实数根 可得△＞0，由此可以求出m的取值 范围，再利用根与系数的关系和 + =﹣1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值．

解答： 解：根据条件知：

α+β=﹣，αβ=m2，

∴ =﹣1，

即m2﹣2m﹣3=0，

所以，得 ，

解得m=3．

故选A．

点评： 1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣ ，x1?x2= ．

5．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）

A． 20 B． 40 C． 100 D． 120

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 判别式法．

分析： 设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由△=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．

解答： 解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得

x（40÷2﹣x）=a，整理，得

x2﹣20x+a=0，

∵△=400﹣4a≥0，

解得a≤100，

故选：D．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键．

6．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）

A． 20% B． 27% C． 28% D． 32%

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 增长率问题．

分析： 如果价格每次降价的百分率为x，降一次后就是降到价格的（1﹣x）倍，连降两次就是降到原来的（1﹣x）2倍．则两次降价后的价格是15 0×（1﹣x）2，即可列方程求解．

解答： 解：设平均每次降价的百分率为x，

则可以得到关系式：150×（1﹣x）2=96

x=0.2或1.8

x=1.8不符合题意，舍去，

故x=0.2

答：平均每次降价的百分率是20%．

故选A．

点评： 本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．

7．分式方程 ﹣1= 的解是（）

A． x=1 B． x=﹣1+ C． x=2 D． 无解

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答： 解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，

去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2﹣3=0，

解得：x=1，

经检验x=1是增根，分式方程无解．

故选D．

点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

8．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）

A． 12 B． 12或15 C． 15 D． 不能确定

考点： 等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

专题： 分类讨论．

分析： 先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．

解答： 解：解方程x2﹣9x+18=0，得 x1=6，x2=3

∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系

∴等腰三角形的腰为6，底为3

∴周长为6+6+3=15

故选C．

点评： 此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．

9．已知（a2+b2）（a2+b2﹣9）﹣10=0，则a2+b2的值为（）

A． ﹣1 B． 10 C． ﹣1或10 D． ﹣1和10

考点： 换元法解一元二次方程．

分析： 将a2+b2看做整体，设a2+b2=x，再求得x，根据a2+b2≥0即可得出答．

解答： 解：a2+b2=x，

原方程可化为x（x﹣9）﹣10=0，

解得x=﹣1或10，

∵x=a2+b2≥0，

∴a2+b2=10．

点评： 本题考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是找出整体，将它设为另一个未知数．

10．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，则 + 的值是（）

A． 7 或2 B． 7 C． 9 D． ﹣9

考点： 根与系数的关系．

分析： 由于a、b满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，则可分类讨论：当a=b时，易得原式=2；当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣6x+4=0的两个根，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=4，再变形得到原式= = ，然后利用整体代入的方法进行计算．

解答： 解：a、b满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，

当a=b时，原式=1+1=2；

当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣6x+4=0的两个根，

所以a+b=6，ab=4，

∴原式= = = =7．

故选A．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．若方程3x2﹣10x+m=0有两个同号不等的实根，则m的取值范围是　0＜m＜ 　．

考点： 根的判别式；根与系数的关系．

分析： 由已知条件可得：判别式△＞0，且两根之积大于0，这样解不等式即可求出m的取值范围．

解答： 解：∵方程3x2﹣10x+m=0有两个同号不等的实根，

∴ ，

解得0＜m＜ ．

故答案为0＜m＜ ．

点评： 本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，根与系数的关系．用到的知识点：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，那么x1+x2= ，x1x2= ．

12．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=　﹣1　．

考点： 根与系数的关系．

专题： 判别式法．

分析： 根据已知和根与系数的关系x1x2= 得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．

解答： 解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，

∴k2=1，

解得k=1或﹣1；

∵方程有两个实数根，△＞0，

∴当k=1时，△＜0，舍去，

故k的值为﹣1．

故答案为：﹣1．

点评： 本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣ ，x1x2= 进行求解．

13．若把代数式2x2﹣4x﹣3化为2（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=　﹣4　．

考点： 配方法的应用．

分析： 根据完全平方公式的结构，按照要求2x2﹣4x﹣3=2（x2﹣2x+1﹣1）﹣3=2（x﹣1）2﹣5，可知m=1．k=﹣5，则m+k=﹣4．

解答： 解：∵2x2﹣4x﹣3=2（x2﹣2x+1﹣1）﹣3=2（x﹣1）2﹣5，

∴m=1，k=﹣5，

∴m+k=﹣4．

故答案为：﹣3．

点评： 本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

14．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　23　．

考点： 因式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系．

专题： 计算题．

分析： 根据一元二次方程解的定义得到a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5，整理得

2a2﹣2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．

解答： 解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，

∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，

∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5

=2a2﹣2a+17

=2（a+3）﹣2a+17

=2a+6﹣2a+17

=23．

故答案为：23．

点评： 本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了一元二次方程解的定义．

15．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，则代数式 的值为　4　．

考点： 一元二次方程的解；分式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 先把所求的分式变形得到（m2﹣m）（m﹣ +1）=（m2﹣m）? ，再根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣m﹣2=0，变形得到m2﹣m=2和m2﹣2=m，然后把它们整体代入所求的代数式中即可得到代数式的值．

解答： 解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，

∴m2﹣m﹣2=0，

∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，

∴（m2﹣m）（m﹣ +1）=（m2﹣m）? =2× =2×2=4．

故答案为4．

点评： 本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了分式的化简求值以及整体的思想的运用．

16．若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是　5　．

考点： 一元二次方程的解．

专题： 计算题．

分析： 把x=a代入方程x2﹣5x+m=0，得a2﹣5a+m=0①，把x=﹣a代入方程方程x2+5x﹣m=0，得a2﹣5a﹣m=0②，再将①+②，即可求出a的值．

解答： 解：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，

∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②，

①+②，得2（a2﹣5a）=0，

∵a＞0，

∴a=5．

故答案为：5．

点评： 本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

17．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是　x3=﹣4，x4=﹣1　．

考点： 一元二次方程的解．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．

解答： 解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），

∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=﹣2或x+2=1，

解得x=﹣4或x=﹣1．

故答案为：x3=﹣4，x4=﹣1．

点评： 此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．

18．△ABC的三边长a、b、c满足b+c=8，bc=a2﹣12a+52，则△ABC的周长等于　14　．

考点： 配方法的应用；非负数的性质：偶次方．

专题： 计算题．

分析： 首先利用c表示出b，代入已知的第二个式子中，整理后配方，然后根据非负数的性质即可求出a与c的值，进而求出b的值，得到三角形的周长．

解答： 解：∵b+c=8，

∴b=8﹣c，

把b=8﹣c代入bc=a2﹣12a+52得：（8﹣c）c=a2﹣12a+52，

整理得：a2﹣12a+c2﹣8c+52=0，

配方得：（a﹣6）2+（c﹣4）2=0，

即a﹣6=0或c﹣4=0，

解得：a=6，c=4，

∴b=8﹣4=4，

则△ABC的周长等于6+4+4=14．

故答案为：14

点评： 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，此题的技巧性比较强，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键．

三、解答题

19．用适当的方法解下列一元二次方程

①x2+3x+1=0

②42=25（x+3）2

③x（x﹣4）=2﹣8x

④2﹣8+15=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．

分析： ①求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；

②两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

③整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；

④分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

解答： 解：①x2+3x+1=0，

b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，

x= ，

x1= ，x2=﹣ ；

②两边开方得：2=±5（x+3），

x1=﹣17，x2=﹣ ；

③整理得：x2+4x﹣2=0，

b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣2）=24，

x= ，

x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣ ；

④分解因式得：=0，

2x+1﹣3=0，2x+1﹣5=0，

x1=1，x2=2．

点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．

20．先化简，再求值： ，其中x满足x2+x﹣2=0．

考点： 分式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值，把x的值代入进行计算即可．

解答： 解：原式= ?

= ?

= ，

由x2+x﹣2=0，解得 x1=﹣2，x2=1，

∵x≠1，

∴当x=﹣2时，原式= = ．

点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

21．a，b是方程x2+11x=﹣25的两根，求a +b 的值．

考点： 根与系数的关系．

分析： 先由一元二次方程根与系数的关系得出a+ b=﹣11，ab=25，再将a +b 变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

解答： 解：∵a，b是方程x2+11x=﹣25即x2+11x+25=0的两根，

∴a+b=﹣11，ab=25，

∴a +b = + = = × = ．

点评： 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

22．阅读下列例题：

解方程x2﹣|x|﹣2=0

解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（舍去）．

当x＜0时，原方程化为x2+x ﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．

∴x1=2，x2=﹣2是原方程的根．

请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；绝对值．

专题： 阅读型．

分析： 参照例题，应分情况讨论，主要是|x﹣1|，随着x取值的变化而变化，它将有两种情况，考虑问题要周全．

解答： 解：（1）设x﹣1≥0原方程变为x2﹣x+1﹣1=0，

x2﹣x=0，

x1=0（舍去），x2=1．

设x﹣1＜0，原方程变为x2+x﹣1﹣1=0，

x2+x﹣2=0，

解得x1=1（舍去），x2=﹣2．

∴原方程解为x1=1，x2=﹣2．

点评： 解本题时，应把绝对值去掉，对x﹣1正负性分类讨论，x﹣1≥0或x﹣1＜0．

23．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 应用题．

分析： 设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

解答： 解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．

根据题意得 （100﹣4x）x=400，

解得 x1=20，x2=5．

则100﹣4x=20或100﹣4x=80．

∵80＞25，

∴x2=5舍去．

即AB=20，BC=20．

答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

24．某工厂生产的某种 产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．

考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用．

专题： 销售问题．

分析： （1）每件的利润为6+2（x﹣1），生产件数为95﹣5（x﹣1），则y=[6+2（x﹣1）][9 5﹣5（x﹣1）]；

由题意可令y=1120，求出x的实际值即可．

解答： 解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．

∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．

∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，

即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；

由题意可得：﹣1 0x2+180x+400=1120

整理得：x2﹣18x+72=0

解得：x1=6，x2=12（舍去）．

答：该产品的质量档次为 第6档．

点评： 本题 考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x= 时取得．

25．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k2+k=0．

（1）求证：方程有两 个不相等的实数根；

若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

考点： 根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

专题： 计算题；压轴题．

分析： （1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；

先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．

解答： （1）证明：∵△=2﹣4（k2+k）=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

解：一元二次方程x2﹣x+k2+k=0的解为x= ，即x1=k，x2=k+1，

∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；

当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，

综合上述，k的值为5或4．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．