2016-10-25
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无锡市2015初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处)
1.16的算术平方根是()
A. ±4 B. ﹣4 C. 4 D. ±8
2.下列图案不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若等腰三角形的顶角为80°,则它的一个底角度数为()
A. 20° B. 50° C. 80° D. 100°
4.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是()
A. 4,5,6 B. 2,3,4 C. ,3,4 D. 1, ,3
5.3184900精确到十万位的近似值为()
A. 3.18×106 B. 3.19×106 C. 3.1×106 D. 3.2×106
6.若点P(a,a﹣3)在第四象限,则a的取值范围是()
A. a<0 B. a>3 C. ﹣3<a<0 D. 0<a<3
7.如图,已知BC=EC,∠BCE=∠ACD,如果只添加一个条件使△ABC≌△DEC,则添加的条件不能为()
A. AB=DE B. ∠B=∠E C. AC=DC D. ∠A=∠D
8.如图,已知△ABC(AB<BC<AC),用尺规在AC上确定一点P,使PB+PC=AC,则下列选项中,一定符合要求的作图痕迹是()
A. B.
C. D.
9.若A(x1,y1) 、B(x2,y2)是一次函数y=ax﹣2x+1图象上的不同的两个点,记m=(x1﹣x2)(y1﹣y2),则当m<0时,a的取值范围是()
A. a<0 B. a>0 C. a<2 D. a>2
10.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,则该直线l的解析式为()
A. y=﹣x B. y=﹣ x C. y=﹣ x D. y=﹣ x
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处)
11.计算: =.
12.写出一个大于1且小于2的无理数.
13.已知点P的坐标是(2,3),则点P到x轴的距离是.
14.如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点,若AD=6,CD=8,则DE的长等于.
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=15,BD=17,则点D到BC的距离是.
16.如图,射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象,图中s、t分别表示行驶距离和时间,则这两人骑自行车的速度相差km/h.
17.如图,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D为BC中点,DE⊥AB于E,则DE=.
18.如图,在一张长为5cm,宽为4cm的长方形纸片上,现要剪下一个腰长为3cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余的两个顶点在长方形的边上),则剪下的等腰三角形的底边的长为cm.
三.解答题(本大题共8小题,共66分.请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(1)计算: ;
(2)求(x﹣3)2=16中的x的值.
20.如图,点D是△ABC的边AB上一点,点E为AC的中点,过点C作 CF∥AB交DE延长线于点F.求证:AD=CF.
21.如图,在∠AOB内找一点P,使得点P到∠AOB的两边距离相等,且使点P到点C的距离最短(尺规作图,请保留作图痕迹).
22.在直角坐标系xOy中,直线l过(1,3)和(2,1)两点,且与x轴,y轴分别交于A,B两点.
(1)求直线l的函数关系式;
(2)求△AOB的面积.
23.某工厂计划生产A,B两种产品共10件,其生产成本和利润如下表:
A种产品 B种产品
成本(万元/件) 2 5
利润(万元/件) 1 3
(1)若工厂计划获利14万元,问A,B两种产品应分别生产多少件?
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元,且获利多于14万元,问工厂有哪几种生产方案?
(3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润.
24.在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为 , , ,求这个三角形的面积.小明同学在解答这道题时,先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)△ABC的面积为.
(2)若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为 , , ,请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF,并求出△DEF的面积为.
(3)在△ABC中,AB=2 ,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD(D与C在AB异侧),使△ABD为等腰直角三角形,则线段CD的长为.
25.一列快车由甲地开往乙地,一列慢车由乙地开往甲地,两车同时出发,匀速运动.快车离乙地的路程y1(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段AB所示.慢车离甲地的路程y2(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段AC所示.根据图象进行以下研究.
解读信息:
(1)甲、乙两地之间的距离为km;
(2)线段AB的解析式为;两车在慢车出发小时后相遇;
问题解决:
(3)设快、慢车之间的距离为y(km),求y与慢车行驶时间x(h)的函数关系式,并画出函数的图象.
26.【问题背景】
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,EF分别是BC,CD上的点,且∠EAF=
60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明△ABE≌△A DG,再证明△AEF≌
△AGF,可得出结论,他的结论应是;
【探索延伸
如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
【结论应用】
如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的 速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°,试求此时两舰艇之间的距离.
【能力提高】
如图4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,则MN的长为.
四、附加题
27.如图,已知A(a,0),B(0,b)分别为两坐标轴上的点,且a、b满足a2+b2﹣12a﹣12b+72=0,OC:OA=1:3.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若点D(1,0),过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点,设E、F两点的横坐标分别为xE、xF,当BD平分△BEF的面积时,求xE+xF的值;
(3)如图2,若M(2,4),点P是x轴上A点右侧一动点,AH⊥PM于点H,在BM上取点G,使HG=HA,连接CG,当点P在点A右侧运动时,∠CGM的度数是否发生改变?若不变,请求其值,若改变,请说明理由.
无锡市2015初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处)
1.16的算术平方根是()
A. ±4 B. ﹣4 C. 4 D. ±8
考点: 算术平方根.
分析: 根据算术平方根的定义求解即可求得答案.
解答: 解:∵42=16,
∴16的算术平方根是4.
故选C.
点评: 此题主要考查了算术平方根的定义,解决本题的关键是明确一 个正数的算术平方根就是其正的平方根.
2.下列图案不是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
考点: 轴对称图形.
分析:根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.
解答: 解:A、是轴对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,故本选项错误;
C、是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项正确.
故选D.
点评: 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
3.若等腰三角形的顶角为80°,则它的一个底角度数为()
A. 20° B. 50° C. 80° D. 100°
考点: 等腰三角形的性质.
分析: 由已知顶角为80°,根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理,即可求出它的一个底角的值.
解答: 解:∵等腰三角形的顶角为80°,
∴它的一个底角为(180°﹣80°)÷2=50°.
故选:B.
点评: 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理.通过三角形内角和,列出方程求解是正确解答本题的关键.
4.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是()
A. 4,5,6 B. 2,3,4 C. ,3,4 D. 1, ,3
考点: 勾股定理的逆定理.
分析: 由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
解答: 解:A、42+52≠62,不能构成直角三角形,故不符合题意;
B、22+32≠64,不能构成直角三角形,故不符合题意;
C、( )2+32=42,能构成直角三角形,故符合题意;
D、12+( )2≠32,不能构成直角三角形,故不符合题意.
故选C.
点评: 本题考查勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.
5.3184900精确到十万位的近似值为()
A. 3.18×106 B. 3.19×106 C. 3.1×106 D. 3.2×106
考点: 科学记数法与有效数字.
分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于3184900有7位,所以可以确定n=7﹣1=6.
解答: 解:3184900精确到十万位的近似值为3.2×107,
故选:D.
点评: 此题考查科学记数法的表示方法,以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.
6.若点P(a,a﹣3)在第四象限,则a的取值范围是()
A. a<0 B. a>3 C. ﹣3<a<0 D. 0<a<3
考点: 点的坐标.
分析: 根据第四象限内的点的横坐标大于零,纵坐标小于零,可得不等式组,根据姐不等式组,可得答案.
解答: 解:由点P(a,a﹣3)在第四象限,得
.
解得0<a<3,
故选:D.
点评: 本题考查了点的坐标,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
7.如图,已知BC=EC,∠BCE=∠ACD,如果只添加一个条件使△ABC≌△DEC,则添加的条件不能为()
A. AB=DE B. ∠B=∠E C. AC=DC D. ∠A=∠D
考点: 全等三角形的判定.
分析: 先求出∠ACB=∠DCE,再根据全等三角形的判定定理(SAS,ASA,AAS,SSS)逐个判断即可.
解答: 解:∵∠BCE=∠ACD,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,
∴∠ACB=∠DCE,
A、根据BC=CE,AB=DE,∠ACB=∠DCE不能推出△ABC≌△DEC,故本选项正确;
B、因为∠ACB=∠DCE,∠B=∠E,BC=CE,所以符合AAS定理,即能推出△ABC≌△DEC,故本选项错误;
C、因为BC=CE,∠ACB=∠DCE,AC=CD,所以符合SAS定理,即能推出△ABC≌△DEC,故本选项错误;
D、因为∠A=∠D,∠ACB=∠DCE,BC=CE,所以符合AAS定理,即能推出△ABC≌△DEC,故本选项错误;
故选A.
点评: 本题考查了全等三角形的判定定理的应用,能理解和运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,难度适中.
8.如图,已知△ABC(AB<BC<AC),用尺规在AC上确定一点P,使PB+PC=AC,则下列选项中,一定符合要求的作图痕迹是()
A. B.
C. D.
考点: 作图—复杂作图.
专题: 作图题.
分析: 利用PA+PC=AC,PB+PC=AC得到PA=PB,则根据线段垂直平分线的逆定理得到点P在线段AB的垂直平分线上,于是可判断C正确.
解答: 解:∵点P在AC上,
∴PA+PC=AC,
而PB+PC=AC,
∴PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上,
所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P.
故选C.
点评: 本题考查了作图﹣复杂作图:结合了几何图形的性质和基本作图方法解决问题.
9.若A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=ax﹣2x+1图象上的不同的两个点,记m=(x1﹣x2)(y1﹣y2),则当m<0时,a的取值范围是()
A. a<0 B. a>0 C. a<2 D. a>2
考点: 一次函数图象上点的坐标特征.
分析: 根据一次函数的性质知,当k<0时,判断出y随x的增大而减小.
解答: 解:∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=ax﹣2x+1=(a﹣2)x+1图象上的不同的两点,m=(x1﹣x2)( y1﹣y2)<0,
∴该函数图象是y随x的增大而减小,
∴a﹣2<0,
解得 a<2.
故选C..
点评: 此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题.
10.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,则该直线l的解析式为()
A. y=﹣x B. y=﹣ x C. y=﹣ x D. y=﹣ x
考点: 待定系数法求一次函数解析式;正方形的性质.
分析: 设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥OB于B,B过A作AC⊥OC于C,易知OB=3,利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式.
解答: 解:设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥OB于B,B过A作AC⊥OC于C,
∵正方形的边长为1,
∴OB=3,
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,
∴S△AOB=4+1=5,
∴ OB?AB=5,
∴AB= ,
∴OC= ,
由此可知直线l经过(﹣ ,3),
设直线方程为y=kx,
则3=﹣ k,
k=﹣ ,
∴直线l解析式为y=﹣ x,
故选D.
点评: 此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质,此题难度较大,解题的关键是作AB⊥y轴,作AC⊥x轴,根据题意即得到:直角三角形ABO,利用三角形的面积公式求出AB的长.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处)
11.计算: = ﹣3 .
考点: 立方根.
专题: 计算题.
分析: 根据(﹣3)3=﹣27,可得出答案.
解答: 解: =﹣3.
故答案为:﹣3.
点评: 此题考查了立方的知识,属于基础题,注意立方根的求解方法,难度一般.
12.写出一个大于1且小于2的无理数 .
考点: 估算无理数的大小.
专题: 开放型.
分析: 由于所求无理数大于1且小于2,两数平方得大于2小于4,所以可选其中的任意一个数开平方即可.
解答: 解:大于1且小于2的无理数是 ,答案不唯一.
故答案为: .
点评: 此题主要考查 了无理数的估算,现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.
13.已知点P的坐标是(2,3),则点P到x轴的距离是 3 .
考点: 点的坐标.
分析: 根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值,可得答案.
解答: 解:点P的坐标是(2,3),则点P到x轴的距离是3,
故答案为:3.
点评: 本题考查了点的坐标,点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值,点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值.
14.如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点,若AD=6,CD=8,则DE的长等于 5 .
考点: 直角三角形斜边上的中线;勾股定理.
分析: 利用勾股定理列式求出AC,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.
解答: 解:∵CD⊥AB,AD=6,CD=8,
∴AC= = =10,
∵E是AC的中点,
∴DE= AC= ×10=5.
故答案为:5.
点评: 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理,熟记性质是解题的关键.
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=15,BD=17,则点D到BC的距离是 8 .
考点: 角平分线的性质.
分析: 在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长度.首先过点D作DE⊥BC于E,根据角平分线的性质,即可得DE=AD,即可求出答案.
解答: 解:如图,在直角△ABD中,∠A=90°,AB=15,BD=17,则由勾股定理得到:AD= = =8.
过点D作DE⊥BC于E,
∵在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,
即AD⊥BA,
∴DE=AD=8,
∴点D到BC的距离是8.
故答案是:8.
点评: 此题考查了角平分线的性质的应用.此题难度不大,注意数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.
16.如图,射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象,图中s、t分别表示行驶距离和时间,则这两人骑自行车的速度相差 4 km/h.
考点: 一次函数的应用.
专题: 压轴题.
分析: 根据图中信息找出甲,乙两人行驶的路程和时间,进而求出速度即可.
解答: 解:根据图象可得:
∵甲行驶距离为100千米时,行驶时间为5小时,乙行驶距离为80千米时,行驶时间为5小时,
∴甲的速度是:100÷5=20(千米/时);乙的速度是:80÷5=16(千米/时);
故这两人骑自行车的速度相差:20﹣16=4(千米/时);
解法二:利用待定系数法s=k甲t+b,s=k乙t,
易得得k 甲=16,k乙=20,
∵速度=路程÷时间
所以k甲、k乙分别为甲、乙的速度
故速度差为20﹣16=4km/h
故答案为:4.
点评: 此题主要考查了一次函数的应用,根据已知得出甲乙行驶的路程与时间是解题关键.
17.如图,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D为BC中点,DE⊥AB于E,则DE= .
考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理.
分析: 首先连接AD,由△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D为BC中点,利用等腰三角形的三线合一的性质,即可证得:AD⊥BC,然后利用勾股定理,即可求得AD的长,又由DE⊥AB,利用有两角对应相等的三角形相似,可证得△BED∽△BDA,继而利用相似三角形的对应边成比例,即可求得DE的长.
解答: 解:连接AD,
∵△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D为BC中点,
∴AD⊥BC,BD= BC=5,
∴AD= =12,
∵DE⊥AB,
∴∠BED=∠BDA=90°,
∵∠B是公共角,
∴△BED∽△BDA,
∴ ,
即 ,
解得:DE= .
故答案为: .
点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.
18.如图,在一张长为5cm,宽为4cm的长方形纸片上,现要剪下一个腰长为3cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余的两个顶点在长方形的边上),则剪下的等腰三角形的底边的长为 3 ,2 , cm.
考点: 图形的剪拼.
专题: 分类讨论.
分析: 因为等腰三角形腰的位置不明确,所以分(1)腰长在矩形相邻的两边上,(2)一腰在矩形的宽上,(3)一腰在矩形的长上,三种情况讨论.(1)△AEF为等腰直角三角形,直接利用直接勾股定理求解即可;(2)先利用勾股定理求出AE边上的高BF,再利用勾股定理求出结论;(3)先利用勾股定理求出BF,再利用勾股定理求出底边.
解答: 解:分三种情况计算:
(1)当AE=AF=3时,如图:
∴EF= =3 ;
(2)当AE=EF=3时,如图:
则BE=4﹣3=1,
BF= = =2 ,
∴AF = =2 ;
(3)当AE=EF=3时,如图:
则DE=5﹣3=2,
DF= = = ,
∴AF= = = ,
故答案为: .
点评: 本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用,要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论,有一定的难度.
三.解答题(本大题共8小题,共66分.请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(1)计算: ;
(2)求(x﹣3)2=16中的x的值.
考点: 实数的运算;平方根;零指数幂;负整数指数幂.
专题: 计算题.
分析: (1)原式第一项利用平方根定义计算,第二项利用负指数幂法则计算,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果;
(2)方程利用平方根定义开方即可求出解.
解答: 解:(1)原式=5﹣3﹣1=1;
(2)方程开方得:x﹣3=±4,
解得:x=7或x=﹣1.
点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20.如图,点D是△ABC的边AB上一点,点E为AC的中点,过点C作CF∥AB交DE延长线于点F.求证:AD=CF.
考点: 全等三角形的判定与性质.
专题: 证明题.
分析: 根据平行线性质得出∠1=∠F,∠2=∠A,求出AE=EC,根据AAS证△ADE≌△CFE,根据全等三角形的性质推出即可.
解答: 证明:∵CF∥AB,
∴∠1=∠F,∠2=∠A,
∵点E为AC的中点,
∴AE=EC,
在△ADE和△CFE中
∴△ADE≌△CFE(AAS),
∴AD=CF.
点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,注意:全等三角形的对应边相等,全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.
21.如图,在∠AOB内找一点P,使得点P到∠AOB的两边距离相等,且使点P到点C的 距离最短(尺规作图,请保留作图痕迹).
考点: 作图—复杂作图;垂线段最短;角平分线的性质.
分析: 使P到∠AOB的两边的距离相等,即画它的角平分线,使点P到点C的距离最短,即过C点作∠AOB的角平分线垂线,垂足就是点P的位置.
解答: 解:作∠AOB平分线,过点C作∠AOB平分线的垂线)交点P即为所求.
点评:此题主要考查了作图﹣复杂作图,垂线和角平分线的作法.这些基本作图要熟练掌握,注意保留作图痕迹.
22.在直角坐标系xOy中,直线l过(1,3)和(2,1)两点,且与x轴,y轴分别交于A,B两点.
(1)求直线l的函数关系式;
(2)求△AOB的面积.
考点: 待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象上点的坐标特征.
分析: (1)利用待定系数法求得即可;
(2)根据解析式求得A、B的坐标,进而求得OA、OB的长,根据三角形的面积公式求得即可.
解答: 解:(1)设直线l的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
把(1,3),(2,1)代入得
解方程组得 …(3分)
∴直线l的函数关系式为y=﹣2x+5;
(2)在y=﹣2x+5中,
令x=0,得y=5,
∴B(0,5),
令y=0,得x= ,
∴ ,
∴S△AOB= AO?BO= × ×5= .
点评: 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和直角三角形的面积,熟练掌握待定系数法是本题的关键.
23.某工厂计划 生产A,B两种产品共10件,其生产成本和利润如下表:
A种产品 B种产品
成本(万元/件) 2 5
利润(万元/件) 1 3
(1)若工厂计划获利14万元,问A,B两种产品应分别生产多少件?
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元,且获利多于14万元,问工厂有哪几种生产方案?
(3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润.
考点: 一次函数的应用;一元一次方程的应用;一元一次不等式组的应用.
专题: 压轴题.
分析: (1)设生产A种产品x件,则生产B种产品有(10﹣x)件,根据计划获利14万元,即两种产品共获利14万元,即可列方程求解;
(2)根据计划投入资金不多于44万元,且获利多于14万元,这两个不等关系即可列出不等式组,求得x的范围,再根据x是非负整数,确定x的值,x的值的个数就是方案的个数;
(3)得出利润y与A产品数量x的函数关系式,根据增减性可得,B产品生产越多,获利越大,因而B取最大值时,获利最大,据此即可求解.
解答: 解:(1)设生产A种产品x件,则生产B种产品(10﹣x)件,于是有
x+3(10﹣x)=14,
解得:x=8,
则10﹣x=10﹣8=2(件)
所以应生产A种产品8件,B种产品2件;
(2)设应生产A种产品x件,则生产B种产品有(10﹣x)件,由题意有:
,
解得:2≤x<8;
所以可以采用的方案有: , , , , , ,共6种方案;
(3)设总利润为y万元,生产A种产品x件,则生产B种产品(10﹣x)件,
则利润y=x+3(10﹣x)=﹣2x+30,
则y随x的增大而减小,即可得,A产品生产越少,获利越大,
所以当 时可获得最大利润,其最大利润为2×1+8×3=26万元.
点评: 本题考查理解题意的能力,关键从表格种获得成 本价和利润,然后根据利润这个等量关系列方程,根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解,然后求出哪种方案获利最大从而求出来.
24.在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为 , , ,求这个三角形的面积.小明同学在解答这道题时,先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)△ABC的面积为 3.5 .
(2)若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为 , , ,请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF,并求出△DEF的面积为 5.5 .
(3)在△ABC中,AB=2 ,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD(D与C在AB异侧),使△ABD为等腰直角三角形,则线段CD的长为 .
考点: 勾股定理.
专题: 作图题.
分析: (1)如图1,运用正方形和三角形的面积公式直接求出△ABC的面积,即可解决问题.
(2)如图2,类似(1)中的方法,直接求出△DEF的面积即可解决问题.
(3)画出符合题意的图形,运用勾股定理直接求出即可解决问题.
解答:
解:(1)如图1,△ABC的面积=
=9﹣3﹣1﹣1.5=3.5,
故答案为3.5.
(2)如图2,△DEF的面积=3×4﹣
=12﹣1.5﹣2﹣3=5.5.
故答案为5.5.
(3)如图3、4、5,分别求出CD的长度如下:
CD=2 或CD=2 或CD=3 ,
故答案为 .
点评: 该题主要考查了勾股定理及其应用问题;牢固掌握勾股定理是灵活运用、解题的基础和关键.
25.一列快车由甲地开往乙地,一列慢车由乙地开往甲地,两车同时出发,匀速运动.快车离乙地的路程y1(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段AB所示.慢车离甲地的路程y2(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段AC所示.根据图象进行以下研究.
解读信息:
(1)甲、乙两地之间的距离为 450 km;
(2)线段AB的解析式为 y1=450﹣150x ;两车在慢车出发 2 小时后相遇;
问题解决:
(3)设快、慢车之间的距离为y(km),求y与慢车行驶时间x(h)的函数关系式,并画出函数的图象.
考点: 一次函数的应用.
分析: (1)由一次函数的图象可以直接得出结论为450km;
(2)设一次函数的解析式y1=k1x+b1,利用待定系数法解答即可,根据路程、时间和速度的关系解答;
(3)根据题意得出函数解析式,画出函数的图象即可.
解答: 解:(1)由图象可得:甲、乙两地之间的距离为450km;
(2)设一次函数的解析式y1=k1x+b1,可得;
,
解得: ,
故线段AB的解析式为 y1=450﹣150x (0≤x≤3);
设两车在慢车出发x小时后相遇,可得:
450÷( )=x,
解得:x=2,
答两车在慢车出发2小时后相遇;
故答案为:(1)450;(2)y1=450﹣150x;2;
(3)根据题意得出y与慢车行驶时间x(h)的函数关系式如下:
,
其图象为折线图
.
点评: 本题考查了一次函数的运用,待定法求一次函数的解析式的运用,行程问题的数量关系的运用,解答时认真分析读懂函数图象的意义是关键.
26.【问题背景】
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,EF分别是BC,CD上的点,且∠EAF=
60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌
△AGF,可得出结论,他的结论应是 EF=BE+FD ;
【探索延伸
如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
【结论应用】
如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°,试求此时两舰艇之间的距离.
【能力提高】
如图4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,则MN的长为 .
考点: 四边形综合题.
分析: 探索延伸:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,证明△ABE≌△ADG,得到△AEF≌△AGF, 证明EF=FG,得到答案;
结论应用:连接EF,延长AE,BF相交于点C,证明EF=AE+FB,计算EF的长度,得到答案;
能力提高:在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM,截取AD=AB,连接CD,证明△ACD≌△ABM,得到CD=BM,求出ND的长度,得到答案.
解答: 解:问题背景:EF=BE+FD.
探索延伸:EF=BE+FD仍然成立.
证明:如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADG,
又∵AB= AD,
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG.
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
又∵∠EAF= ∠BAD,
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF,
=∠BAD﹣ ∠BAD= ∠BAD,
∴∠EAF=∠GAF.
在△AEF和△AGF中,
,
∴△AEF≌△AGF.
∴EF=FG.
又∵FG=DG+DF=BE+DF.
∴EF=BE+FD.
结论应用:如图3,连接EF,延长AE,BF相交于点C,
在四边形AOBC中,
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°,∠FOE=70°= ∠AOB,
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°,符合探索延伸中的条件,
∴结论EF=AE+FB成立.
即,EF=AE+FB=1.5×(60+80)=210(海里)
答:此时两舰艇之间的距离为210海里.
能力提高:如图4,在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM,截取AD=AM,连接CD,
则△ACD≌△ABM,
∴CD=BM=1
由以上可知,MN=ND,
∵∠ACD=90°,CD=1,CN=3,
∴MN= .
点评: 本题考查的是四边形知识的综合运用,掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键,注意规律的总结和运用.
四、附加题
27.如图,已知A(a,0),B(0,b)分别为两坐标轴上的点,且a、b满足a2+b2﹣12a﹣12b+72=0,OC:OA=1:3.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若点D(1,0),过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点,设E、F两点的横坐标分别为xE、xF,当BD平分△BEF的面积时,求xE+xF的值;
(3)如图2,若M(2,4),点P是x轴上A点右侧一动点,AH⊥PM于点H,在BM上取点G,使HG=HA,连接CG,当点P在点A右侧运动时,∠CGM的度数是否发生改变?若不变,请求其值,若改变,请说明理由.
考点: 一次函数综合题.
分析: (1)配方利用非负数的性质可求得a和b,可求得A、B坐标,再由条件可求得OC的长,可求得C的坐标;
(2)过F、E分别向x轴引垂线,垂足分别为M、N,可证明△FMD≌△END,可得MD=ND,可求得xE+xF的值;
(3)连接MA、MC,过C作CT⊥PM于T,证明△CMT≌△MAH,可证明△CGT是等腰直角三角形,可求得∠CGM=45°.
解答: 解:
(1)∵a2+b2﹣12a﹣12b+72=0,
∴(a﹣6)2+(b﹣6)2=0,
∴a=b=6,
∴A(6,0),B(0,6),
∴OA=6,且OC:OA=1:3,
∴OC=2,
∴C(﹣2,0);
(2)如图2,过F、E分别向x轴引垂线,垂足分别为M、N,
∵当BD平分△BEF的面积,
∴D为EF中点,
∴DF=DE,
在△FMD和△END中
∴△FMD≌△END(AAS),
∴MD=ND,
即1﹣xF=xE﹣1,
∴xE+xF=2;
(3)不改变,理由如下:
如图3,连接MA、MC,过C作CT⊥PM于T,过M作MS⊥x轴于点S,
∵M(2,4),C(﹣2,0),A(6,0),
∴S(2,0),
∴MS垂直平分AC,
∴MC=MA,且MS=SC,
∴∠CMA=90°,
∴∠CMT+∠AMH=∠TCM+∠CMT=90°,
∴∠TCM=∠AMH,
在△CMT和△MAH中
∴△CMT≌△MAH(AAS),
∴TM=AH,CT=MH,
又AH=HG,
∴MT=GH,
∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT,
∴△CGT是等腰直角三角形,
∴∠CGM=45°,
即当点P在点A右侧运动时,∠CGM的度数不改变.
点评: 本题主要考查一次函数的综合应用,主要知识点有点的坐标、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形中线的性质、垂直平分线的性质等.在(1)中配方得到非负数的和为0是解题的关键;在(2)中确定出D为EF的中点是解题的关键,构造全等三角形可找到点E、F横坐标的关系;在(3)中构造三角形全等,证得△CGT为等腰直角三角形是解题的关键.本题知识点较多,综合性较强,难度较大.
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