导读:《线性代数》是各个高校理工科学生必修的公共基础课,而矩阵及矩阵的运算是学习这门课的重要工具。矩阵的秩是它最高阶非零子式的阶数,最高阶非零子式对于理解矩阵的秩的概念、向量组的最大无关组的概念以及这两个概念之间的关系等有着非常重要的作用,很多情况下需要我们求出矩阵的一个最高阶非零子式。 关键词:矩阵,

最高阶非零子式,初等行变换,行阶梯行

《线性代数》是各个高校理工科学生必修的公共基础课,而矩阵及矩阵的运算是学习这门课的重要工具。参考网。矩阵的秩是矩阵品质的一个重要指数,它是矩阵初等变换下的不变量。矩阵的秩有着非常广泛的应用。参考网。

矩阵的秩是它最高阶非零子式的阶数,最高阶非零子式对于理解矩阵的秩的概念、向量组的最大无关组的概念以及这两个概念之间的关系等有着非常重要的作用,很多情况下需要我们求出矩阵的一个最高阶非零子式。

一个矩阵的阶子式有个,所以直接从定义出发求最高阶非零子式计算量往往很大。

很多教材中给出的方法是:通过初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵,确定其秩为,取其非零行的非零首元所在的列所对应的原矩阵中的各列构成一个矩阵,它有行列,有个阶子式,从中找一个非零子式即为原矩阵的一个最高阶非零子式。这种方法比起用定义求最高阶非零子式可省去很多工作量,但仍需要排除一些零子式。参考网。

下面给出一种方法,可直接求得矩阵的一个最高阶非零子式,省去排除零子式的运算过程,方法如下:

对矩阵施行标准程序的初等行变换,把矩阵化成行阶梯形矩阵(即适当地作行交换后,对矩阵按自上而下的顺序化“0”,并且在进行第三种初等行变换时只用行标小的行作用于行标大的行,而不用行标大的行作用于行标小的行。),的最高阶非零子式可取为它的非零行的非零首元所在的行和列构成的子式,记为。相应于的这些行和列,取中对应的行和列构成的子式即为的一个最高阶非零子式,记为。这是因为我们这样选出的这个子式对它施行与上述对矩阵的这些行一样的初等行变换后,此行列式恰好化为上三角行行列式,它与的非零子式仅相差一个非零常数倍,从而就是的一个阶非零子式,即它为的一个最高阶非零子式。举例如下:

是一个行阶梯行矩阵,它的一个最高阶非零子式为,于是和的秩都是3。是由的第一、二、四列,第一、二、三行构成的,的这些列与的第一、二、四列相对应,的第一行与的第一行相对应,第二行与的第三行相对应,第三行与的第二行相对应。因此取的第一、二、四列,第一、二、三行得到一个子式就是的一个最高阶非零子式。

事实上对施行与的相应行一样的初等行变换,恰好可以把化为上三角形行列式,它和只相差负一倍。过程如下:

我们使用这种方法可以直接得到矩阵的一个最高阶非零子式,且很容易知道它的值,从而大大减少了计算量。

参考文献:[1]同济大学应用数学系.线性代数.高等教育出版社,2003.

[2]北京大学数学系.高等代数. 高等教育出版社,2003.