九年级数学同步练习：数学直角三角形知识点复习试题 。

1、如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为

A.B.C.D.

2、tan60的值等于

A.1B.C.D.2

3、3tan30的值等于

A.B.C.D.

4、sin30=

A.0B.1C.D.

5、下列四个数中最大的数是()

A.2.5B.C.sin600D.

6、sin60=

A.B.C.D.

7、对于sin60有下列说法：①sin60是一个无理数;②sin60sin50③sin60=6sin10。其中说法正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

8、直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为()

A.20B. 22C. 24D. 26

9、为迎接五一的到来，同学们做了许多拉花布置教室准备召开五一联欢晚会，小刚搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙距离应为()

A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米

10、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为()

A.B.C.D.

11、计算的结果是【】

A. B.4 C. D.5

12、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30，则BC两地之间的距离为

A.100mB.50mC.50mD.m

13、如图，若A=60，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)

A.34.64mB.34.6mC.28.3mD.17.3m

14、如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，则的值是【】

A. B.C. D.

15、如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BDAC于点D，OMAB于点M，则sinCBD的值等于【】

A.3B.﹣3C.D.

16、△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，如果，那么下列结

论正确的是【】

A.csinA= a B.b cosB=c C.a tanA= b D.ctanB= b

17、使两个直角三角形全等的条件是

A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等

C.一条边对应相等D.两条边对应相等

18、如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为()

A.B.4C.D.

19、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为

A.B.C.D.2

20、如图，在△ABC中，A=450，B=300，CDAB，垂足为D，CD=1，则AB的长为【】

A.2B.C.D.

21、如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s.若P，Q同时开始运动，设运动时间为t(s)，△BPQ的面积为y(cm2).已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是【】

A.AE=6cmB.

C.当0

22、如图，在△ABC中，AB=AC，A=120，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

23、如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为

A.40m B.80mC.120m D.160m

24、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60，已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，1.73).

A.3.5mB.3.6mC.4.3mD.5.1m

25、如图，O为原点，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)，⊙D过A、B、O三点，点C为优弧ABO上的一点(不与O、A两点重合)，则cosC的值为

A. B. C. D.

二、填空题()

26、如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sinECB=.

27、如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A重合，点B与B重合，连接EB，EC，EA.设EB=b，EC=c，EA=p.现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c.请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=当n=12时，p=.

(参考数据：，)

28、sin30的值为.

29、2cos30=.

30、的值是.

31、计算：=.

32、计算：cos60.

33、如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度=米

34、在Rt△ABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，则sinA=.

35、在△ABC中，已知C=90，，则=.

36、.

37、如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为.

38、如图，菱形ABCD中，AB=4，B=60，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是.

39、如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为(取，结果精确到0.1海里).

40、如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1(点O，B1，A1按逆时针方向排列)，称为第一次构造;点B2是△OBA的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2(点O，B2，A2按逆时针方向排列)，称为第二次构造;以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止.则构造出的最后一个三角形的面积是 .

三、计算题()

41、计算：.

42、计算：.

43、计算：;

44、化简：。

45、计算：

四、解答题()

46、

问题背景:

如图(a),点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B,连接A B与直线l交于点C，则点C即为所求.

(1)实践运用：

如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，ACD=30，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为.

(2)知识拓展：

如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.

47、如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2(单位：km).有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西600的方向，从B测得小船在北偏东450的方向.

(1)求点P到海岸线l的距离;

(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处.此时，从B测得小船在北偏西150的方向.求点C与点B之间的距离.

(上述2小题的结果都保留根号)

48、交通安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使CAD=300，CBD=600.

(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：);

(2)已知本路段对汽车限速为40千米/小时，若测得某辆汽车从A到B用时为2秒，这辆汽车是否超速?说明理由.

49、有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90，AB=AC=6，在三角板DEF中，

FDE=90，DF=4，DE=。将这副直角三角板按如图(1)所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上，现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动。

(1)如图(2)，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则EMC=

(2)如图(3)，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长;

(3)在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围。

50、如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.

(1)求直线AB的解析式;

(2)当点P运动到点(，0)时，求此时DP的长及点D的坐标;

(3)是否存在点P，使△OPD的面积等于?若存在，请求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.

试卷答案

1.【解析】

试题分析：连接DO，EO，BE，过点D作DFAB于点F，

∵AD=OA=1，AD=AO=DO。△AOD是等边三角形。

∵四边形ABCD是平行四边形，DC∥AB。

CDO=DOA=60，△ODE是等边三角形。

同理可得出△OBE是等边三角形且3个等边三角形全等。

阴影部分面积等于△BCE面积。

∵DF=ADsin60=，DE=EC=1，

图中阴影部分的面积为：1=。

故选A。

2.【解析】

试题分析：根据特殊角的正切函数值直接作答：tan60=。故选C。

3.【解析】

试题分析：

3直接把tan30=代入进行计算即可：3tan30=3=。故选A。

4.【解析】

试题分析：直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可：sin30=。故选C。

5.A

6.C

7.C

8.C

9.B

10.D

11.【解析】直接由特殊角的三角函数值代入计算即可：

。故选D。

12.【解析】

试题分析：根据题意得：AC=100，ABC=30，

(m)。故选A。

13.【解析】

试题分析：∵C=90，A=60，AC=20m，

。

故选B。

14.【解析】如图，过点P作PHx轴于点H，则

∵P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，OH=3，PH= m。

又∵OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，即，

。

根据勾股定理，得OP=5。

。故选B。

15.【解析】如图，连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则E。

由AE为直径，且BDAC，得到BDC=ABE=90，

△ABE和△BCD都是直角三角形。CBD=EAB。

又∵△OAM是直角三角形， AO=1，

，即sinCBD的值等于OM的长。

故选A。

16.【解析】∵，根据勾股定理逆定理，得△ABC是直角三角形，且C=900。

根据锐角三角函数定义，有：

。

正确的是：csinA= a。故选A。

17.【解析】

试题分析：根据直角三角形全等SAS，HL的判定，使两个直角三角形全等的条件是两条边对应相等。故选D。

18.【解析】

试题分析：如图，连接AE，

在正六边形中，F=(6﹣2)180=120。

∵AF=EF，AEF=EAF=(180﹣120)=30。AEP=120﹣30=90。

AE=22cos30=22。

∵点P是ED的中点，EP=2=1。

在Rt△AEP中，。

故选C。

19.【解析】

试题分析：如图，作点C关于OB的对称点C，交OB于点D，连接AC交OB于点P，根据轴对称的知识可知，此时A C=PA+PC最小。

过点C作 CHx轴于点H，

∵点B的坐标为(3，)，。

∵点C的坐标为(，0)，。

C C=2CD=。

又∵，。

OH=。HC=。

在Rt△A CH中，根据勾股定理，得：。

PA+PC的最小值为。故选B。

20.【解析】∵CDAB，△ACD和△BCD都是直角三角形。

∵A=450，CD=1，AD=CD=1。

∵B=300，。

AB=AD+BD=。故选D。

21.【解析】(1)结论A正确，理由如下：

解析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，

故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm。

(2)结论B正确，理由如下：

如图，连接EC，过点E作EFBC于点F，

由函数图象可知，BC=BE=10cm，，

EF=8。。

(3)结论C正确，理由如下：

如图，过点P作PGBQ于点G，

∵BQ=BP=t，。

(4)结论D错误，理由如下：

当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，

设为N，如图，连接NB，NC。

此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=。

∵BC=10，

△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形。

故选D。

22.【解析】

试题分析：连接AM、AN、过A作ADBC于D，

∵在△ABC中，AB=AC，A=120，BC=6cm，

C=30，BD=CD=3cm。。

∵AB的垂直平分线EM，BE=AB=cm。。

同理CF=cm，CN=2cm。

MN=BC﹣BM﹣CN=2cm。故选C。

23.【解析】

试题分析：如图，过A作ADBC于D，则BAD=30，CAD=60，AD=120 m。

在Rt△ABD中，，

在Rt△CD中，，

(m)。

故选D。

24.D。

25.D

26.【解析】

试题分析：连接AD，则ADB=90，

在Rt△ABD中，AB=5，BD=4，则，

∵，DAC=DBA。△DAC∽△DBA。

，即。。

。

。

27.【解析】如图，连接AB、AC、BC，

由题意，点A、B、C为圆上的n等分点，

AB=BC，(度)。

在等腰△ABC中，过顶点B作BNAC于点N，

则AC=2CN=2BCcosACB=2cosBC，

。

连接AE、BE，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD，

∵ABC=CED，

△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形。

△ABC∽△CED。，ACB=DCE。

∵ACB=ACD+BCD，DCE=BCE+BCD，ACD=BCE。

在△ACD与△BCE中，∵，ACD=BCE，△ACD∽△BCE。

。。

EA=ED+DA=EC+。

由折叠性质可知，p=EA=EA，b=EB=EB，c=EC。

p=c+。

当n=4时，p=c+2cos45b=c+b;

当n=12时，p=c+2cos15b=c+b。

28.【解析】

试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30=。

29.【解析】

试题分析：根据cos30=，继而代入可得出答案.

30.【解析】

分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可：。

31.

32.0.5

33.4.7

34.【解析】

试题分析：∵在Rt△ABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，根据勾股定理，得AC=5。

。

35.【解析】根据题意，设AB=c，BC=a，AC=b，则。

∵，

。

。

。

36.【解析】

试题分析：针对零零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：

。

37.【解析】

试题分析：∵在等边△ABC中，B=60，AB=6，D是BC的中点，ADBD，BAD=CAD=30。

AD=ABcos30=6。

根据旋转的性质知，EAC=DAB=30，AD=AE，

DAE=EAC+BAD=60。△ADE的等边三角形。

DE=AD=，即线段DE的长度为。

38.【解析】

试题分析：∵四边形ABCD是菱形，BC=CD，D=60。

∵AEBC，AFCD，ABAE=CDAF，BAE=DAF=30。

AE=AF。

∵B=60，BAD=120。EAF=120﹣30﹣30=60。

△AEF是等边三角形。AE=EF，AEF=60。

∵AB=4，AE=2。EF=AE=2。

过A作AMEF，交EF于点M,

AM=AEcos60=3。

△AEF的面积是：EFAM=23=3。

39.【解析】∵DBA=DAB=45，

△DAB是等腰直角三角形。

过点D作DEAB于点E，则DE=AB，

设DE=x，则AB=2x，

在Rt△CDE中，DCE=30，

则CE=DE=x，

在Rt△BDE中，DAE=45，则DE=BE=x，

由题意得，CB=CE﹣BE=x﹣x=25，

解得：x=。

AB=67.5(海里)。

40.【解析】

试题分析：∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，点B1是△OBA的重心，也是内心。

BOB1=30。

∵△OB1A1是等边三角形，A1OB=60+30=90。

∵每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30，

还需要(360﹣90)30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合。

构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10。

如图，过点B1作B1MOB于点M，

∵，

，即。

，即。

同理，可得，即。

，

，即构造出的最后一个三角形的面积是。

41.【解析】

试题分析：针对二次根式化简，绝对值，特殊角的三角函数值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

42.【解析】针对特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂5个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

43.【解析】针对有理数的乘方，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

44.【解析】针对绝对值，特殊角的三角函数值，有理数的乘方，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

45.【解析】针对零指数幂，有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

46.【解析】

试题分析：(1)找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出CAE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：

如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A。作直径AC，连接CE，

根据垂径定理得弧BD=弧DE。

∵ACD=30，AOD=60，DOE=30。AOE=90。

CAE=45。

又AC为圆的直径，AEC=90。

C=CAE=45。CE=AE=AC=。

AP+BP的最小值是。

(2)首先在斜边AC上截取AB=AB，连接BB，再过点B作BFAB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段BF的长即为所求。

47.【解析】

试题分析：(1)过点P作PDAB于点D，构造直角三角形BDP和PDA，PD即为点P到海岸线l的距离，应用锐角三角函数即可求解。

(2)过点B作BFCA于点F，构造直角三角形ABF和BFC，应用锐角三角函数即可求解。

48.【解析】

试题分析：(1)分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长。

(2)由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速。

49.【解析】

试题分析：(1)如题图2所示，

∵在三角板DEF中，FDE=90，DF=4，DE=，

。DFE=60。

EMC=FMB=DFE-ABC=60-45=15。

(2)如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可。

(3)认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况，分02，2

当02，即开始到DE与AC重合之前时，;

当2

当

50.【解析】(1)过点B作BEy轴于点E，作BFx轴于点F.依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解。

(2)由△ABD由△AOP旋转得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，DAB=PAO，DAP=BAO=60，△ADP是等边三角形，利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中，BGD=90，DBG=60.利用三角函数求出BG=BDcos60，DG=BDsin60.然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标。

(3)分三种情况进行讨论：

①当P在x轴正半轴上时，即t

②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时;即

③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t时。

综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值。