一. 本周教学内容：圆的方程，空间两点的距离公式

　　教学目的：

　　1. 理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径;能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题;探索并掌握圆的一般方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程。

　　2. 能够根据给定直线、圆的方程，会用代数方法讨论直线与圆的三种位置关系;能够根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系。

　　3. 掌握空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何题的有关坐标;掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。

　　二. 重点、难点

　　重点：

　　1. 圆的标准方程以及会根据不同条件求得圆的标准方程;圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长，理解关于二元二次方程表示圆的条件。

　　2. 直线和圆的位置关系的判断和应用;两圆位置关系的判断。

　　3. 空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标;空间两点距离公式。

　　难点：

　　1. 圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。

　　2. 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系;通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系。

　　3. 确定点在空间直角坐标系中的坐标;空间距离公式的推导。

　　知识分析：

　　(一)圆的标准方程

　　1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。

　　2. 圆的标准方程：已知圆心为(a，b)，半径为r，则圆的方程为 ;

　　若点M(x1，y1)在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即

　　(二)圆的一般方程

　　任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

　　②

　　当 )为圆心，以 时，方程①只有实数解 );

　　当 时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。

　　圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：

　　(1)<0" > 和<1" > 的系数相同，且不等于0;

　　(2)没有xy这样的二次项。

　　以上两点是二元二次方程 ;

　　(2)过圆 ;

　　(3)过圆

　　3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题

　　(1)判定位置关系。方法是比较d与r的大小。

　　(2)求切线方程。若已知切点M(x0，y0)，则切线方程为

　　;

　　若已知切线上一点N(x0，y0)，则可设切线方程为

　　(四)圆与圆的位置关系

　　1. 圆与圆的位置关系问题

　　判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数;第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下：

　　圆 的位置关系，其中

　　当 时，两圆外离;

　　当 时，两圆外切;

　　当 时，两圆相交;

　　当 时，两圆内含

　　注意：两圆的位置关系可表示在一条数轴上，如图所示：

　　两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。

　　2. 两圆相交问题

　　(1)过两已知圆

　　即 ，表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线;当两圆相切时，此直线为两圆的公切线;当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线。

　　(2)过直线与圆交点的圆系方程

　　设直线 相交，则方程l与圆C的两个交点的圆系方程。

　　(五)空间直角坐标系

　　1. 空间直角坐标系

　　为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示.轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合。这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O-xyz。在这个过程中，三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。

　　2. 点P的坐标

　　过点P作一个平面平行于平面yOz(这样构造的平面同样垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为P，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标。你能试述点P的y坐标，点P的z坐标吗?

　　3. 坐标平面

　　每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面。

　　4. 特殊点的坐标形式

　　xOy平面是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x、y为任意实数;

　　xOz平面是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x、z为任意实数;

　　yOz平面是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y、z为任意实数;

　　x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集，其中x为任意实数;

　　y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为任意实数;

　　z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数。

　　5. 卦限

　　三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限。

　　在坐标平面xOy上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限;在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ，第Ⅶ、第Ⅷ卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第Ⅰ卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数;在第Ⅱ卦限，x为负数，y、z均为正数。

　　(六)空间两点的距离公式

　　空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是

　　特别的，点A(x，y，z)到原点的距离为

　　【典型例题】

　　例1. 求满足下列条件的各圆的方程：

　　(1)圆心在原点，半径是3;

　　(2)圆心在点C(3，4)，半径是 ;

　　(3)

　　因为圆与坐标轴相切，故圆心满足 ，

　　又圆心在直线 ，

　　解方程组 ，得：

　　所以圆心坐标为(4，4)，或(1，-1)

　　于是可得半径 或 。

　　(5)设圆心为(a,-2a)由题意，圆与直线

　　解得：a=1

　　所以所求圆的圆心为(1，-2)，半径为

　　故圆的方程为 ，则

　　解得

　　法二：因为圆过A(5，2)，B(3，-2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为

　　解得

　　所求圆的方程为

　　又圆C与y轴相切得 ①

　　又圆心在直线 上， ②

　　圆心C(a，b)到直线 ③

　　联立①②③解方程组可得

　　或

　　将A(2，-2)，B(5，3)，C(3，-1)三点的坐标代入圆的方程

　　得

　　点评：一般来说，由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时，常用一般式。

　　例5. 已知圆

　　由 消去y，得

　　即

　　(1)令

　　当 或 ，即 时，直线与圆相交

　　(3)令 或 或 ，即 ， 或 时，即 即 ，即

　　即 时直线与圆相离

　　点评：解决直线与圆的位置关系，几何法比代数法简单。

　　例6. 已知直线 ，曲线 ，它们有两个公共点，求b的取值范围。

　　解析：法一，曲线C中，l和C有两个公共点，等价于方程组 有两组不同解，又等价于 ，有两组不同解，消去x得l有两个公共点，等价方程有两个不等非负实数解

　　于是

　　解得 表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如图所示。当l与C有两交点，此时b=1，记为 与半圆相切时，切线记为 ;当 与 之间时， 。

　　， 解析：法一

　　解方程组

　　得交点坐标分别为(0，2)(-4，0)

　　设所求圆心坐标为(a，-a)

　　则

　　解得

　　法二：同法一，得两已知圆的交点的坐标为(0，2)，(-4，0)

　　设所求的圆的方程为

　　解得

　　法三，设所求圆的方程为

　　因为这个圆的圆心在直线 上

　　所以

　　圆的方程为1、点(2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是在( )

　　A. y轴上 B. xOy平面上 C. xOz平面上 D. 第一卦限内

　　2、点M(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是( )

　　A. (-2，3，-1) B. (-2，-3，-1)

　　C. (2，-3，-1) D. (-2，3，1)

　　3、设点B是点A(2，-3，5)关于xOy面的对称点，则|AB|等于( )

　　A. 10 B. D. 38

　　4、设有圆M： ，点P(2，1)，那么( )

　　A. 点P在直线l上，但在圆M上

　　C. 点P在直线l上，也不在圆M上

　　5、设M是圆 上的点，则M到直线 的最小距离是( )

　　A. 9 B. 8 C. 5 D. 2

　　6、方程A.

　　C.

　　7、过点P(3，0)能有多少条直线与圆A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条

　　8、直线 被圆A. B. 2 C. D.

　　9、直线 所截得线段的中点坐标是( )

　　A. D. 10、若圆 关于直线 对称，那么直线 的方程是( )

　　A. B.

　　C. D.

　　11、与两坐标轴都相切，且过点(2，1)的圆的方程是____________________

　　12、过点(0，0)，(1，0)，(0，2)的圆的方程是__________________________

　　13、若实数x ，y满足 ，则 ，则 的最大值为__________________

　　15、一圆过点P(-4，3)，圆心在直线 相切，且和直线 ，求该圆的方程。

　　【试题答案】

　　1～10：C A A A D D A C A D

　　11、 13、 14、 ，

　　依题意，得：

　　解得：

　　所以所求圆的方程为

　　16、设此圆的方程为 ，

　　解得：

　　所以所求圆的方程是

　　或 或

　　17、设⊙P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，由题设知⊙P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知⊙P截x轴所得的弦长为 r，故2|b|= r，得：r2=2b2

　　又⊙P被y轴解得的弦长为2，由勾股定理得：r2=a2+1，得：2b2-a2=1。

　　又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 ，即有

　　解得： ，于是r2=2b2=2