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高一数学练习：高一数学综合能力测试解答题六

22.(本题满分14分)(09福建文)已知函数f(x)=sin(x+)，其中0，|2.

(1)若cos4cos-sin34sin=0，求

(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.

[解析] 解法一：(1)由cos4cos-sin34sin=0得cos4cos-sin4sin=0，

即cos=0.

又|2，

(2)由(1)得，f(x)=sinx+4.

依题意，T2=3.

又T=2，故=3，f(x)=sin3x+4.

函数f(x)的图象向左平移m个单位后，所得图象对应的函数为g(x)=sin3(x+m)+4，

g(x)是偶函数当且仅当3m++2(kZ)，

即m=k12(kZ).

从而，最小正实数m=12.

解法二：(1)同解法一.

(2)由(1)得，f(x)=sinx+4.

依题意，T2=3.

又T=2，故=3，

f(x)=sin3x+4.

函数f(x)的图象向左平移m个单位后所得图象对应的函数为g(x)=sin3(x+m)+4.

g(x)是偶函数当且仅当g(-x)=g(x)对xR恒成立，

亦即sin-3x+3m+4=sin3x+3m+4对xR恒成立.

sin(-3x)cos3m+4+cos(-3x)sin3m+4

=sin3xcos3m+4+cos3xsin3m+4，

即2sin3xcos3m+4=0对xR恒成立.

cos3m+4=0，

故3m++2(kZ)，

m=k12(kZ)，

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