2016-10-26 收藏
1.下列命题中,真命题是()
A.函数y=1x是奇函数,且在定义域内为减函数
B.函数y=x3(x-1)0是奇函数,且在定义域内为增函数
C.函数y=x2是偶函数,且在(-3,0)上为减函数
D.函数y=ax2+c(ac0)是偶函数,且在(0,2)上为增函数
解析:选C.选项A中,y=1x在定义域内不具有单调性;B中,函数的定义域不关于原点对称;D中,当a<0时,y=ax2+c(ac0)在(0,2)上为减函数,故选C.
2.奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)的值为()
A.10 B.-10
C.-15 D.15
解析:选C.f(x)在[3,6]上为增函数,f(x)max=f(6)=8,f(x)min=f(3)=-1.2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-28+1=-15.
3.f(x)=x3+1x的图象关于()
A.原点对称 B.y轴对称
C.y=x对称 D.y=-x对称
解析:选A.x0,f(-x)=(-x)3+1-x=-f(x),f(x)为奇函数,关于原点对称.
4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数,那么a=________.
解析:∵f(x)是[3-a,5]上的奇函数,
区间[3-a,5]关于原点对称,
3-a=-5,a=8.
答案:8
1.函数f(x)=x的奇偶性为()
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析:选D.定义域为{x|x0},不关于原点对称.
2.下列函数为偶函数的是()
A.f(x)=|x|+x B.f(x)=x2+1x
C.f(x)=x2+x D.f(x)=|x|x2
解析:选D.只有D符合偶函数定义.
3.设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是()
A.f(x)f(-x)是奇函数
B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数
解析:选D.设F(x)=f(x)f(-x)
则F(-x)=F(x)为偶函数.
设G(x)=f(x)|f(-x)|,
则G(-x)=f(-x)|f(x)|.
G(x)与G(-x)关系不定.
设M(x)=f(x)-f(-x),
M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)为奇函数.
设N(x)=f(x)+f(-x),则N(-x)=f(-x)+f(x).
N(x)为偶函数.
4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx()
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
解析:选A.g(x)=x(ax2+bx+c)=xf(x),g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),所以g(x)=ax3+bx2+cx是奇函数;因为g(x)-g(-x)=2ax3+2cx不恒等于0,所以g(-x)=g(x)不恒成立.故g(x)不是偶函数.
5.奇函数y=f(x)(xR)的图象必过点()
A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a))
C.(-a,-f(a)) D.(a,f(1a))
解析:选C.∵f(x)是奇函数,
f(-a)=-f(a),
即自变量取-a时,函数值为-f(a),
故图象必过点(-a,-f(a)).
6.f(x)为偶函数,且当x0时,f(x)2,则当x0时()
A.f(x) B.f(x)2
C.f(x)-2 D.f(x)R
解析:选B.可画f(x)的大致图象易知当x0时,有f(x)2.故选B.
7.若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=________.
解析:f(x)=x2+(1-a)x-a为偶函数,
1-a=0,a=1.
答案:1
8.下列四个结论:①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③f(x)=0(xR)既是奇函数,又是偶函数;④偶函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题是________.
解析:偶函数的图象关于y轴对称,不一定与y轴相交,①错,④对;奇函数当x=0无意义时,其图象不过原点,②错,③对.
答案:③④
9.①f(x)=x2(x2+2);②f(x)=x|x|;
③f(x)=3x+x;④f(x)=1-x2x.
以上函数中的奇函数是________.
解析:(1)∵xR,-xR,
又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),
f(x)为偶函数.
(2)∵xR,-xR,
又∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),
f(x)为奇函数.
(3)∵定义域为[0,+),不关于原点对称,
f(x)为非奇非偶函数.
(4)f(x)的定义域为[-1,0)(0,1]
即有-11且x0,则-11且-x0,
又∵f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x).
f(x)为奇函数.
答案:②④
10.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=(x-1) 1+x1-x;(2)f(x)=x2+xx<0-x2+x x>0.
解:(1)由1+x1-x0,得定义域为[-1,1),关于原点不对称,f(x)为非奇非偶函数.
(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x),
当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x),
综上所述,对任意的x(-,0)(0,+),都有f(-x)=-f(x),
f(x)为奇函数.
11.判断函数f(x)=1-x2|x+2|-2的奇偶性.
解:由1-x20得-11.
由|x+2|-20得x0且x-4.
定义域为[-1,0)(0,1],关于原点对称.
∵x[-1,0)(0,1]时,x+2>0,
f(x)=1-x2|x+2|-2=1-x2x,
f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x),
f(x)=1-x2|x+2|-2是奇函数.
12.若函数f(x)的定义域是R,且对任意x,yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.试判断f(x)的奇偶性.
解:在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0,
得f(0+0)=f(0)+f(0),
f(0)=0.
再令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(x)+f(-x)=0,
f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.
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