三　分 数 除 法

一、分数除以整数和一个数除以分数的计算方法

1.分数除以整数的计算方法。

(1)整数除法的意义:已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。

(2)分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。

(3)分数除以整数(0除外),等于分数乘这个整数的倒数。

2.整数除以分数的计算方法。

整数除以分数,等于整数乘这个分数的倒数。

3.分数除以分数的计算方法。

分数除以分数,可以用被除数乘除数的倒数来计算。

4.推导分数除法的计算方法。

(1)利用商不变的规律进行推导。

被除数和除数同时乘除数的倒数,让除数变为1。

(2)利用等式的基本性质进行推导。

5.分数除法的计算方法。

甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。

6.商与被除数的大小关系。

一个数(0除外)除以

二、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法

1.已知一个数的几分之几是多少,求这个数,是把这个数看作单位“1”,单位“1”的量是未知的,可以设单位“1”的量为x,根据乘法的意义列方程解答。

2.可以用算术法解答“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的应用题。算术解法和方程解法都要根据数量之间的相等关系来列式。

3.比较分数乘法应用题与分数除法应用题的异同:

应用题类型 结构特征 计算方法

单位

“1” 比较

量 比较量对应

的几分之几

求一个数的几分之几是多少 已知 未知 已知 乘法:单位“1”的量×几分之几=比较量

求一个数是另一个数的几分之几 已知 已知 未知 除法:比较量÷单位“1”的量=几分之几

已知一个数的几分之几是多少,求这个数 未知 已知 已知 除法:比较量÷几分之几=单位“1”的量

方程:单位“1”的量×几分之几=比较量

三、分数连除和乘除混合运算

1.乘除混合运算的计算方法。

计算分数乘除混合运算时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。

2.连除运算的计算方法。

计算分数连除时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。

四、比的意义

1.比的意义及各部分名称。

(1)比的意义:两个数相除又叫作两个数的比。

(2)比的读、写方法。

“比”可以用比号“∶”来代替,也可以写成分数的形式,两种形式的比都读“几比几”。如3 比2,写作3∶2或,读作3比2。

(3)比的各部分名称。

(4)比是有序的。

求一个量和另一个量的比,则前一个量是比的前项,后一个量是比的后项。

2.比值的意义和求法。

(1)比值的意义:比的前项除以后项所得的商。

(2)求比值的方法:用比的前项除以后项。

3.比和比值的联系与区别。

(1)比和比值的联系:都可以用分数形式表示。

(2)比和比值的区别:①比表示两个数的倍比关系,比值是一个数值;②比只能写成a∶b或的形式,而比值可以是分数、小数或整数。

4.比与分数、除法的关系。

联系:比的前项相当于分子、被除数;比号相当于分数线、除号;比的后项相当于分母、除数;比值相当于分数值、商。

区别:比是一种关系;分数是一类数;除法是一种运算。

5.比与除法、分数之间的区别。

(1)意义不同:比是表示两个量(或数)的一种关系;除法是一种运算;分数则是一类数。

(2)表示方法不同:作为一种运算,除法算式不能用分数表示;比可以用分数表示;分数不一定表示两个量的比。

(3)结果表达不同:除法一般要求出商;比只有要求计算时才求出比值;分数本身就是一个数值,无需计算。

6.反比:把一个比的前项作为后项,后项作为前项,所得的比和原来的比互成反比。如3∶5是5∶3的反比,5∶3也是3∶5的反比。互成反比的两个比的比值互为倒数。

7.复比:把两个(或两个以上)比的前项相乘的积作为前项,后项相乘的积作为后项,所成的比叫作这些比的复比。如甲、乙两人的速度比是3∶4,时间比是5∶6,那么他们所行的路程比就是(3×5)∶(4×6)=5∶8,路程比就是速度比和时间比的复比。复比的比值等于组成它的各个单比比值的乘积。

8.连比:三个(或三个以上)量组成的比叫作连比。如果甲与乙的比是a∶b,乙与丙的比是b∶c,那么甲、乙、丙三个量的比可以写作a∶b∶c,a∶b∶c就叫作甲、乙、丙三个量的连比。可以把几个比组成连比,也可以把连比分成几个比。比可以看作比的前项除以后项,但是连比不能看作组成连比的几个数连除。连比与连除的含义是不同的。

五、比的基本性质

1.比的基本性质。

比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。这是比的基本性质。

2.化简比。

整数比最简单的

整数比

化简比的结果是一个比,不是一个数。

3.化简比与求比值的区别:

计算(化简)依据 方法 结果

化简比 比的基本性质 把比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外) 是一个最简单的整数比

求比值 比的意义 用比的前项除以比的后项 是一个数,可以是分数、小数或整数

六、按比分配问题的意义及解题方法

1.在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫作按比分配。

2.按比分配问题的解题方法。

(1)用整数乘、除法解决问题:①求出总份数;②求出每份是多少;③求出各部分的数量。

(2)用分数乘法解决问题:①先根据比求出总份数;②再求出各部分量占总量的几分之几;③最后求出各部分的数量。

3.解决按比分配问题时,无论总数分成几部分,解题方法都是相同的。

把除法转化为乘法,是由一种形式变换成另一种形式,而其本身的大小不变。

易错点:在进行计算时,把除号变为乘号后忘记变为除数的倒数。如÷=×=,应为÷=×=2。

举例:÷=÷=÷1=

被除数(0除外)与商的大小关系取决于除数与1的大小关系。

技巧:

(1)找出单位“1”的量。

(2)看谁和单位“1”的量相比,找出比较量和比较量对应的几分之几。

注意:有时一道题中的单位“1”不止一个,有两个或多个。一个数量在某一个条件中是单位“1”,在另一个条件中有可能就不是单位“1”,解题时要认真比较,找准几分之几对应的单位“1”,才能正确解答。

巧记:

解决问题并不难,读懂题意最关键。

重点找准单位“1”,画出线段破难关。

根据等量列方程,解答完毕要检验。

注意:计算分数连除时,一定要连续地乘除数的倒数,不要只把第一个除数变成它的倒数,其他除数只变符号不变数。

(1)两个数的比可以表示两个数之间的倍数关系。如果汁有2杯,牛奶有3杯,果汁与牛奶杯数的比是2比3,可以理解为果汁有2份,牛奶有3份;也可以理解为果汁的杯数相当于牛奶的,牛奶的杯数相当于果汁的。

(2)两个数的比可以表示两个数相除。

举例:鱼缸里有3条红金鱼,5条黑金鱼,黑金鱼和红金鱼的数量比是(　　)。

错解:3∶5

正解:5∶3

比值是一个数,它可以是分数、小数或整数。

注意:求两个不同单位的同类量的比,要先把单位统一。如小明看一本漫画书用了1小时,小东看同一本漫画书用了43分钟,小明和小东所用的时间比是(　　　)。

错解:1∶43

正解:60∶43

因为除数和分母都不能为0,所以比的后项也不能为0。

知识巧记:

比的意义很重要,记忆方法有诀窍。

两数相除即为比,除号变点挺奇妙。

前项后项和比值,位置顺序不能调。

分数除法比相联,相互关系要记牢。

化简比的方法:可以用求比值的方法化简比。

判断一个比是不是最简单的整数比的方法:看这个比的前项和后项是不是只有公因数1。

举例:化简比∶。

错解:∶=∶=3

正解:∶=∶=3∶1

易错点:误认为化简同类量的比时只要化为最简整数比就是正确的。一定要注意先统一单位,再化简,但化简后的比不能有单位。如化简0.8 L∶1.4 mL。

错解:4 L∶7 mL

正解:4000∶7

解答按比分配的问题时,一定要找准分配的总量和分配的份数。如一个长方形的周长是84厘米,长与宽的比是4∶3,这个长方形的长和宽各是多少厘米?

因为周长是两个长与两个宽的和,所以应该先用周长84除以2后,再按比分配。