2016-06-14
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第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义:函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根,亦即函数
yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即:方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.
3、函数零点的求法:
1(代数法)求方程f(x)0的实数根;○
2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yf(x)的图象联系起来,○
并利用函数的性质找出零点.
4、基本初等函数的零点:
①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。
k(k0)没有零点。x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。
②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0).
(1)△0,方程ax2bxc0(a0)有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程ax2bxc0(a0)有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△0,方程ax2bxc0(a0)无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.
⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.
⑦幂函数yx,当n0时,仅有一个零点0,当n0时,没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数),函数先把fx转化成,这另fx0,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2(基本初等函数)个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。
6、选择题判断区间a,b上是否含有零点,只需满足fafb0。7、确定零点在某区间a,b个数是唯一的条件是:①fx在区间上连续,且fafb0②在区间a,b上单调。
8、函数零点的性质:
从数的角度看:即是使f(x)0的实数;
从形的角度看:即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标;
1
x若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切,则零点x0通常称为不变号零点;若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交,则零点x0通常称为变号零点.
9、二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断,且满足f(a)f(b)0的函数
yf(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
10、给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤:(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精度;(2)求区间(a,b)的中点x1;(3)计算f(x1):
①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型:一次函数模型:f(x)kxb(k0);二次函数模型:g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型:h(x)axb(a0);
指数函数模型:l(x)abxc(a0,b0,b1)
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