函数（一）教案形成与实验的报告 《函数（一）》是人教版义务教育教材初级中学代数第三册第十三章“函数及其图像”第二节的数学内容（见教材Ｐ９１—Ｐ９２页），安排二课时教授。

下面就我们对这一重要教学内容的教案形成报告如下（具体教案略）。

在课堂教学中，我们主张有意义学习，反对机械学习。有意义学习，就是通过文字符号或其它符号使学生在头脑中获得相应的认知内容的学习。其学习过程的实质是符号所代表的新知识与学生认知结构中已有的适当知识建立非人为的（非任意的）和实质性的（非字面的）联系。

根据学习任务的复杂程度，有意义学习分为三种类型：代表学习、概念学习和命题学习。这是一堂典型的概念学习课，它的实质是让学生掌握事物的共同的关键特征（关键属性）。获得概念的形式有两种：一种是让学生从大量事物的不同例证中独立发现，称为概念形成，另一种是教师用定义的方式直接向学生呈现，然后由学生利用认知结构中原有的有关概念理解新概念，称为概念同化。

义务教育新教材对认知发展尚未成熟的初中学生，在理论上降低了逻辑严谨性要求。根据从具体到抽象的认知规律，教材比较多的运用了形象思维和直觉思维，减少了学生的学习困难。形象思维是借助对数学对象的具体形象和表象的联想来进行的思维，可以经常联系生活实际、图表和模型表现数学内容，通过联想、类比、归纳而抽象出数学概念，也可以使数学概念具体化、形象化。直觉思维是具有意识的人脑对数学对象的结构及规律性关系的敏锐想象和迅速判断。它的特点是思维过程无明确的意识，也没有清晰的推理过程，思维过程在一刹那间完成（即“顿悟”），主要形式是想象和猜测。可以这样说，逻辑是证明的工具，而直觉是发现的工具。因此根据本节课教材的组织程序和教学大纲要求，学生学习进行的方式可采用发现学习的形式（苏联奥苏伯尔观点，美国布鲁纳倡导），先用概念形成的程序引入函数概念，然后同化函数概念，达到获得函数概念的目的。经过研究，我们取得了如下的共识：

一、依据教学大纲和节前框，本节课的教学目标应该是要求学生能分清实例中出现的常量与变量、自变量与函数，使学生了解函数的意义及三种表示法。

二、紧扣教材，充分运用教材获得函数概念。

１．借助教材编写者精心设计的章头图（第８２页）引入教学，体现函数这个重要的数学概念源于实践、寓于实践的哲学观点。

上课伊始，让学生观察章头图。这幅图分上、中、下三部分。通过对上、下四幅画的观察得到某日白天的气温高、风力小；深夜的气温低、风力大，具体生动地说明了时间和气温是两个变量，时间和风力也是两个变量。接着利用学生前节课（平面直角坐标系内容）刚刚获得的认知结构观察中间部分（气温图），发现一天二十四小时内，当时间每取一个值时，气温都有唯一的值与它对应，向学生展示了：在一个问题的研究过程中，往往存在两个变量的运动变化状况，并且它们满足某种函数关系这样一个数学现象（实例）。

２．重点讲解第９１页的例子：一辆汽车以３０千米／小时的速度行驶，行驶的路程Ｓ（千米）与行驶时间ｔ（时）有怎样的关系呢？利用学生已有的认知结构（匀速运动规律：Ｓ＝Ｖｔ），开展学生学习活动。

通过讨论，采用列表的形式，发现在这个问题的研究过程中，速度Ｖ是常量，路程Ｓ和时间ｔ是两个变量，并且当变量ｔ每取一个值时，就可以相应地得出变量Ｓ有唯一的一个值。通过上述两例的知觉水平的分析，辨别不同的刺激模式，舍去事物的特定物质运动的形态，提炼出两个研究对象中共同的关键属性，抽象为数量及关系的研究，就得出了函数的定义，深入浅出地揭示了用语言文字符号表示函数（这一步属于有意义学习的代表学习的范畴）这个数学概念的形成过程，获得了反映现实或者说代表现实的一个抽象概念———函数。

三、同化概念，使函数的意义有效地固定在学生的认知结构中。

在初步获得函数要领的意义后，可通过第９２页的圆的面积Ｓ（ｃｍ２）与半径Ｒ（ｃｍ）间的关系：Ｓ＝πＲ２来理解常量与变量、自变量与函数这些新概念，并进一步综合上面引入函数定义的两例，将函数概念与学生认知结构中的有关观念进一步分化和融合贯通，指出两个变量构成的函数关系有的可以用数学式子（等式）表示，有的可以用列表或图表示，有的三种表示方法兼而有之，达到了同化概念、强化函数关键特征的目的，为以后学习具体函数及其图像奠定了基矗

四、把握好概念的掌握的教学环节。

所谓概念的掌握就是指获得了按一类事物的共同的关键属性进行反应的能力。教师在设计测验来检验学生是否真正获得概念时，有两点是值得注意的：（１）要区分学生是知识的理解还是知识的机械记忆；（２）要区分学生是根据关键特征掌握概念，还是根据无关特征回答有关概念问题。这是一个十分重要的教学环节，要形成学生主动学习的高潮。

１．用提问和板演的形式要求学生完成第９２页练习的两题。学生根据常量与变量、自变量与函数的定义，直接从知觉上觉察它们的意义，迅速回答问题。

２．请学生举出实例，说明在一个问题的研究过程中存在两个变量，并且构成函数关系（即由学生举出肯定例证）。教师要抓住函数的关键特征，引导学生开展思维上活动，在学习和生活中推衍（寻找）出数学现象。教师在教学过程中，要特别尊重学生的发言和讨论，采用扩大有关特征（定义的特征）的方法促进教学，辨识肯定例证和否定例证，使函数真正成为科学概念。

张仲隐老师写成了教案，课前学生进行了预习。该授课采用了以激励学生学习为特征的、以学生为中心的讲练结合的启发式教学方法。在教学过程中呈现的概念的形成、掌握、深化的教学环节，环环相扣，自然流畅，使教材本身具有的逻辑意义与学生原有认知结构实现了较好的结合，清晰、稳定而明确的函数意义得到了显现，为学生了解和基本掌握，完成了教学任务。在教学过程中，值得提出的两点是：（１）在定义函数概念之后，张老师让学生第二次观察章头图解决问题时，学生从函数思想上的高度回答了老师提某日一天二十四小时内的时间与温度之间的各种关系问题（何时温度最高、最低？什么一段时间温度持续上升、持续下降？）。充分发挥了教材的功能，加深了对函数意义的了解。巧合的是，教师提出的问题就是安徽省去年中考数学试题第六题第２小题的原型（备课时未考虑到）。（２）学生在举满足函数关系的两个变量的实例时，发言和争论的气氛热烈。他们提出：“在单位时间工作量一定时，总工作量与工作时间成函数关系”，“发电报钱款数与字数成函数关系”，“人的身高与年龄成函数关系”，“锐角α与它的正弦值成函数关系”，“二元一次方程的二个未知数Ｘ、Ｙ成函数关系”。从学生口述的实例中，说明学生在短短的四十五分钟内，了解了函数的标准属性（在哲学上称为本质属性），达到了提高课堂教学效率的目的。