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中考数学三角形试题归类(含答案)

选择题

1. (天津3分)sin45的值等于

(A) (B) (C) (D) 1

【答案】B。

【考点】特殊角三角函数。

【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果。

2.(河北省3分)如图，在△ABC 中，C=90，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为

A、 B、2 C、3 D、4

【答案】B。

【考点】翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，EDA=EDA=90，AE=AE，

△ACB∽△AED。 。

又∵A为CE的中点，AE=AE=AC。 。ED=2。

故选B。

3.(山西省2分)如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形.若DE=2cm，则AC的长为

A. cm B.4cm C. cm D. cm

【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理。

【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE= ，即可得出AC=2 。故选D。

4.(内蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是

A、9cm B、12cm C、15cm或12cm D、15cm

【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】求等腰三角形的周长，即要确定等腰三角形的腰与底的长，根据三角形三边关系知

当6为腰，3为底时，6﹣36+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15;

当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形。故选D。

5.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，△ACB≌△A1CB1, BCB1=30，则ACA1的度数为

A. 20 B. 30 C. 35 D. 40

【答案】B。

【考点】全等三角形的性质。

【分析】根据全等三角形对应角相等的性质，得ACB=A1CB1，所以ACB-BCA1=A1CB1-BCA1，即 ACA1=BCB1=35。故选B。

3.填空题

1. (山西省3分)如图，已知AB=12;ABBC于B，ABAD于A，AD=5，BC=10.点E是CD的中点，则AE的长是 ▲ 。

【答案】 。

【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】过点E作EGAB，垂足为点G，AB与DC交于点F，则DA∥GE∥BC。

∵点E是CD的中点，AB=12，根据平行的性质，得AG=6。

∵DA∥BC，△ADF∽△BCF。 。

∵AB=12，即BF=12-AF。 。

又∵AD=5，BC=10， ，解得，AF=4，FB=8。

FG=6-4=2。

∵GE∥BC，△FGE∽△FBC。 ，即 ，解得，GE= 。

在Rt△AGE中，由勾股定理，得AE= 。

2.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图，AD是△ABC的中线，ADC=60，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C处，连接BC，那么BC的长为 ▲ .

【答案】3。

【考点】翻折变换(折叠问题)，轴对称的性质，平角定义，等边三角形的判定与性质。

【分析】根据题意：BC=6，D为BC的中点;故BD=DC=3。

由轴对称的性质可得：ADC=ADC=60，

DC=DC=2，BDC=60。

故△BDC为等边三角形，故BC=3。

3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ▲ .

【答案】10。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平移的性质。

【分析】∵EF是△ABC的中位线，EF∥BC，△AEF∽△ABC。

EF：BC=1：2，S△AEF：S△ABC=1：4。

∵△AEF的面积为5，S△ABC=20。

∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，S△EBD=5。

图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10。

4.(内蒙古包头3分)如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，ABAC，下列结论中：①BE=DC;②BOD=60③△BOD∽△COE.正确的序号是 ▲ .

【答案】①②。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定。

【分析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，

AD=AB，AE=AC，DAB=CAE=60。

DAC=BAC+60，BAE=BAC+60。DAC=BAE。△DAC≌△BAE(SAS)。

BE=DC。【①正确】

ADC=ABE。

∵BOD+BDO+DBO=180，BOD=180﹣BDO﹣DBO=60。【②正确】

∵由△DAC≌△BAE和ABAC，得AEB，OEC。

又∵60，60，OCE。

而DOB=EOC，△BOD和△COE不相似。【③错误】

5.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是BCD的平分线，且CEAB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为 ▲ .

【答案】 。

【考点】角平分线和垂直的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，梯形的面积，一元一次方程的应用。

【分析】延长BA与CD，交于F，

∵CE是BCD的平分线，BCE=FCE。

∵CEAB，BEC=FEC=90。

∵EC=EC，△BCE≌△FCE(ASA)。BE=EF。

∵BE=2AE，BF=4AF。

又∵AD∥BC，△FAD∽△FBC。 。

设S△FAD=x，S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，S四边形AECD=7x。

∵四边形AECD的面积为1，7x=1，x= 。

梯形ABCD的面积为：S△BCE+S四边形AECD=15x= 。

6.(内蒙古乌兰察布4分)如图，在Rt△ABC中，ABC = 90 , AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心，以 的长为半径作圆, 将 Rt△ABC截 去两个扇形，则剩余(阴影)部分的面积为 ▲ cm (结果保留)

【答案】 。

【考点】直角三角形两锐角的关系，勾股定理，扇形的面积。

【分析】由题意可知，阴影部分的面积为三角形面积减去两个扇形面积。

三角形面积为 。

由勾股定理，得AC=10，圆半径为5。

∵在Rt△ABC中，ABC = 90 ,C =90 。

两个扇形的面积的和为半径5，圆心角90 的扇形的面积，即四分之一圆的面积 。

阴影部分的面积为 cm 。

7.(内蒙古乌兰察布4分)某厂家新开发的一种电动车 如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 8 和 10 ，大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是 ▲ m .(不考虑其它因素)

【答案】 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】过点A作ADBC，垂足为点D。由锐角三角函数定义，得

BC=BD-CD= 。

4.解答题

1.(北京5分)如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，F，AB=FD.求证：AE=FC.

【答案】证明：∵BE∥DF，ABE=D。

在△ABC和△FDC中 ，

△ABC≌△FDC(ASA)。

AE=FC.

【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】利用平行线同位角相等的性质可得ABE=D，由已知用ASA判定△ABC≌△FDC，再由全等三角形对应边相等的性质证得AE=FC。

2.(北京5分)如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且CBF= CAB.

(1)求证：直线BF是⊙O的切线;

(2)若AB=5，sinCBF= ，求BC和BF的长.

【答案】解：(1)证明：连接AE。∵AB是⊙O的直径，AEB=90。

2=90。

∵AB=AC，1= CAB。

∵CBF= CAB，CBF。CBF+2=90。即ABF=90。

∵AB是⊙O的直径，直线BF是⊙O的切线。

(2)过点C作CGAB于点G。

∵sinCBF= ，CBF，sin1= 。

∵AEB=90，AB=5，BE=ABsin1= 。

∵AB=AC，AEB=90，BC=2BE=2 。

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2 ，sin2= ，cos2= 。

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，AG=3。

∵GC∥BF，△AGC∽△BFA。 。 。

【考点】切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】(1)连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明ABE=90。

(2)利用已知条件证得△AGC∽△BFA，利用对应边的比求得线段的长即可。

3.(北京5分)阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可.他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.

(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);

(2)若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 .

【答案】解：△BDE的面积等于1。

(1)如图.以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP。

(2)连接EF，PE，则△CFP可公割成△PEF，△PCE和△EFC。

∵四边形BEPF是平行四边形，△PEF≌△BFE。

又∵E，F是AC，AB的中点，△BFE的底和高都是△ABC的一半。

△BFE的面积是△ABC的 ，即△PEF的面积是△ABC的 。

同理，△PCE和△EFC的面积都是△ABC的 。

以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于 。

【考点】平移的性质，三角形的面积，尺规作图。

【分析】根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积。

(1)分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形。

(2)由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等。结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的 。

4.(天津8分)某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景.如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m.在一处测得望海校B位于A的北偏东30方向.游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C.在C处测得望海楼B位于C的北偏东60方向.求此时游轮与望梅楼之间的距离BC ( 取l.73.结果保留整数).

【答案】解：根据题意，AB=10，如图，过点B作BDAC交AC的延长线于点D。

在Rt△ADB中，∵ BAD=300， 。

在Rt△CDB中， 。

答：此时游轮与望梅楼之间的距离约为173 m。

【考点】解直角三角形的应用。

【分析】要求BC的长，就要把它作为直角三角形的边，故辅助线过点B作BDAC交AC的延长线于点D，形成两个直角三角形，利用三角函数解直角三角形先求BD再求出BC。

5.(山西省7分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60.已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 (即AB：BC= )，且B、C、E三点在同一条盲线上。请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).

【答案】解：如图，过点A作AFDE于F，则四边形ABEF为矩形。AF=BE，EF=AB=2。

设DE=x，

在Rt△CDE中，CE= ，

在Rt△ABC中，∵ AB：BC= ，AB=2，BC= 。

在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-2，AF= 。

∵AF=BE=BC+CE， ，解得x=6。

答：树DE的高度为6米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角、坡度坡角问题)，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。。

【分析】通过构造直角三角形分别表示出BC和AF，得到有关的方程求解即可。

6.(山西省9分)如图(1)，Rt△ABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D.AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F

(1)求证：CE=CF.

(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示.试猜想：BE与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.

【答案】解：(1)∵ACB=90，CFA=90CAF。

∵CDAB，CEF=AED=90EAD。

又∵AF平分CAB，CAF=EAD。CFA=CEF。CE=CF。

(2)BE与CF相等。证明如下：

如图，过点E作EGAC于G。

又∵AF平分CAB，EDAB，ED=EG。

由平移的性质可知：DE=DE，DE =GE。

∵ACB=90，ACD+DCB=90。

∵CDAB于D，DCB=90。ACD=B。

在Rt△CEG与Rt△BED中，

∵GCE=B，CGE=BDE，CE=DE，△CEG≌△BED(AAS)。CE=BE。

由(1)CE=CF，得CF=BE。

【考点】三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的判定，角平分线定义，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)要证CE=CF，根据等腰三角形等角对等边的判定，只要CFA=CEF即可。由已知，知CFA与CAF互余，CEF=AED与EAD互余，而AF平分CAB。从而CAF=EAD。得证。

(2)由角的等量关系转换和平移的性质，根据AAS证得△CEG≌△BED，即可根据全等三角形的对应边相等的性质得到CE=BE。由(1)的结论即可得到CF=BE。

7.(内蒙古呼和浩特6分)在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离.现测得AC=30m，BC=70m，CAB=120，请计算A，B两个凉亭之间的距离.

【答案】解：如图，作CDAB于点D.

在Rt△CDA中，∵AC=30，

CAD=180CAB=180-120=60，

CD=ACsinCAD=30sin60=15 ，

AD=ACcosCAD=30cos60=15。

在Rt△CDB中，∵BC=70，BD2=BC2﹣CD2，

BD= 。

AB=BD﹣AD=65﹣15=50。

答：A，B两个凉亭之间的距离为50m。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股定理。

【分析】构造直角三角形，过C点作CDAB于点D，先在Rt△CDA中应用锐角三角函数求得AD、CD的长，再利用勾股定理求得BD的长，从而由AB=BD﹣AD即得A，B两个凉亭之间的距离。

8.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰10分)如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测到空投地点C的俯角=60，测到地面指挥台的俯角=30，已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度(结果保留根号).

【答案】解：作ADBC，交BC的延长线于点D，

∵EA∥BC，ABC==30。

又∵BAC=-=30，ABC=BAC。

AC=BC=2000。

在Rt△ACD中，

AD= ACcosCAD=ACcos300=1000 。

答：此时飞机的高度为1000 米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，平行的性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。

【分析】作ADBC，交BC的延长线于点D， 由平行线内错角相等的性质和等腰三角形的判定，易得AC=BC=2000，从而在Rt△ACD中应用锐角三角函数即可求得此时飞机的高度。

9.(内蒙古包头8分)一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B，此时测得船和灯塔相距362海里，船以每小时20海里的速度向南偏西24的方向航行到C处，此时望见灯塔在船的正北方向.(参考数据sin240.4，cos240.9)

(1)求几点钟船到达C处;

(2)当船到达C处时，求船和灯塔的距离.

【答案】解：(1)延长CB与AD交于点E.AEB=90，

∵BAE=45，AB=362，BE=AE=36。

根据题意得：C=24，sin24= ，

AC= 。

9020=4.5。

8+4.5=12.5。

12点30分船到达C处。

(2)在直角三角形ACE中，cos24= ，即cos24= ，

BC=45。

船到C处时，船和灯塔的距离是45海里。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数。

【分析】(1)要求几点到达C处，需要先求出AC的距离，根据时间=距离除以速度，从而求出解.

(2)船和灯塔的距离就是BC的长，作出CB的延长线交AD于E，根据直角三角形的角，用三角函数可求出CE的长，减去BE就是BC的长.

10.(内蒙古呼伦贝尔6分)如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30和60，如果这时气球的高度CD为90米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离(结果保留根号)。

【答案】解：∵

，

。

在 中， ,

。

在 中， ， 。

。

答：建筑物A、B间距离为 米。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】分别在 和 中应用锐角三角函数求出AD，BD即可。

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