假期来了，大家是不是特别开心呀?但是小编提醒大家：我们还是个学生，主要任务还是学习哦!鉴于此，小编精心准备了这篇初三寒假作业数学动态问题检测试题，希望对您有所帮助!

1.(2011山东聊城 24，12分)(本题共12分)如图，在矩形 中， ， ,点 、 、 分别从点 、 、 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 、 的速度均为2cm/s，点 的速度为4cm/s，当点 追上点 (即点 与 点重合)时，三个点随之停止移动，设移动开始第t秒时， 的面积为 。

(1)当 时， 的值是多少?

(2)写出 和 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围。

(3)若点 在矩形的边 上移动时，当 为何值时，以点 、 、 为顶点的三角形与以 、 、 为顶点的三角形相似?请说明理由。

【解题思路】(1)根据移动时间和移动速度，可以求得BE、BF、FC和CG的长度，计算出梯形EBCG和三角形BEF、三角形FCG的面积，从而求出 的面积为 的值。

(2)由题意知移动时间 的取值范围是 ，①当 时，图形如上图，此时可以用含有 的代数式表示出BE、BF、FC和CG的长度，进而表示 的面积 ;②当 时，图形如下，此时可以用含有 的代数式表示出 的长度，从而表示出出 的面积为 的值。

(3)用含有 的代数式表示出BE、BF、FC和CG的长度，由于两三角形对应关系的不确定，需要分来两种情况进行讨论。

【答案】解：(1) 时， , , 。则 , .

梯形EBCG的面积为 ,

的面积为 ,

的面积为 ,

.

(2) ①当点 在 时，此时 .

, , 。则 , .

梯形EBCG的面积为 ,

的面积为 ,

的面积为 ,

。

即 ( )。

②当点 在 时，此时 。

， ，

。

的面积为 。

即 ( )。

(3)点 在矩形的边 上移动时，此时 。

①若 ,即 。解得 。

又 满足 ，所以当 时， ∽ ;

②若 ,即 。解得 。

又 满足 ，所以当 时， ∽ ;

综上可知，当 或 时，以点 、 、 为顶点的三角形与以 、 、 为顶点的三角形相似。

【点评】本题是当前的热点问题，动态几何探究综合题，需要综合运用相似等知识以及分类讨论的数学思想，意在考查学生逻辑推理能力、探究发现能力、灵活利用数学知识解决问题的能力。

2.(2011年四川省南充市21题8分)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD=AB=CD=2, C=600, M是BC的中点。

(1)求证：⊿MDC是等边三角形;

(2)将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD)与AB交于一点E,MC即MC)同时与AD 交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由;如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值。

【解题思路】此题边长给出较多，因而可从边长入手;由图形中的特殊的边角关系，利用全等变换，等量代换寻求周长的最小值。

【答案】证明：过点D作DPBC于点P，过点A作AQBC于点Q，

∵B =60

CP=BQ= ,CP+BQ=AB

又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,BC=2AD,由已知，点M是BC的中点，BM=CM=AD=AB=CD，即△MDC中，CM=CD,C=60，故△MDC是等边三角形.

(2)解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：

连结AM，由(1)平行四边形ABMD是菱形，△MAB，△MAD和△MCD是等边三角形，BMA=BME+AME=60，EMF=AMF+AME=60BME=AMF

在△BME与△AMF中，BM=AM,EBM=FAM=60

△BME≌△AMF(ASA)

BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB

∵EMF=DMC=60,故△EMF是等边三角形，EF=MF

∵MF的最小值为点M到AD的距离为 ，即EF的最小值是 。

△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,△AEF周长的最小值为

【点评】等边三角形的判定方法一般有两种：一是三个角都相等的三角形是等边三角形，二是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。梯形中常用辅助线把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题去解决。

3. (2011山东潍坊，23，11分)如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.

(1)求证：△ABC∽

(2)当ABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长;

(3)求证：当D在AM上移动时(A点除外)，点Q始终是线段BF的中点.

【解题思路】(1)要证△ABC∽OFB，易证ACB=OBF=90，由ACBD和OFBD，得AC∥OF，所以BAC=FOB，利用两角对应相等，两三角形相似即可证得;(2)连接OP，由DP、DA是切线，可知DAB=OPD=90，由ABD与△BFO的面积相等，且(1)得△ABC∽OFB，可知△ABC≌OFB，所以OA=OB，因此OA=OP=AD=DP=1，从而得证四边形OADP是正方形，所以DP∥AB，进而确定BQ=AD=1;(3)过点Q作AM的 垂线QK，由(1)△ABC∽OFB，得 ，而OB=1，所以 ，利用切线长定理易证：AD=DP，QB=QP，再利用勾股定理，确定 ，，进而得证结论.

【答案】解：(1)证明：∵AB为直径，

ACB=90，即ACBC.

又∵OEBC，OE//AC，BAC=FOB.

∵BN是半圆的切线，故BCA=OBF=90.

△ACB∽△OBF.

(2)由△ACB∽△OBF，得OFB=DBA，DAB=OBF=90，

△ABD∽△BFO，

当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO.

AD=BO= AB =1.

∵DAAB，DA为⊙O的切线.

连接OP，∵DP是半圆O的切线，

DA=DP=1，DA=AO=OP=DP=1，

四边形ADPO为正方形.

DP//AB，四边形DABQ为矩形.

BQ=AD=1.

(3)由(2)知，△ABD∽△BFO，

， .

∵DPQ是半圆O的切线，AD=DP，QB=QP.

过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中， ，

，

，BF=2BQ，Q为BF的中点.

【点拨】本题考查了相似三角形、切线长定理、勾股定理等知识，综合性较强.在解题时要注意利用已知条件，构建模型，第三问是动点移动问题，解决时要把动点转化为静点来分析.难度较大.

4.(2011广东省，21，9分)如图(1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，D F(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

(1)问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA;

(2)设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由);

(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

【解题思路】第(1)小题可以利用角的关系来证明，也可以考虑先证明DEBC,还可以考虑用三角形的中位线来证明.第(2)小题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系来讨论.第(3)小题当四边形MEND与△BDE的面积相等相等时可带来 ≌ ,可以推证得到DE=BE,DM=BM.对于本题，还有很重要的一点那就是 ∽ ，它的三边之比是3:4:5.综合这些结论可以通过列方程等方法解决本题.

【答案】(1)△HAB及△HGA

(2)由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0

(3)由角平分线性质易得

∵

即

EM是BD的垂直平分线.

EDB=DBE

EDB=CDE DBE=CDE

又∵DCE=BCD

△CDE∽△CBD

①

即可

又∵

由①式得

【点评】本题是一个两点同时运动的动态图形变化问题，求三角形的面积，关键是求决定这个三角形面积的几个量。本题难点在第三问上，有利于培养学生的分类讨论思想，但难度较大，具有明显的区分度.

5.(2011广东省，21，9分)如图，抛物线 与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C(3，0).

(1)求直线AB的函数关系式;

(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围;

(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O，点C重合的情况)，连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由.

【解题思路】(1)解决关键是由B点坐标求出直线解析式，发现四边形ACBD是正方形.(2)将C、D两点坐标代入抛物线解析式构造二元一次方程组求解.(3)是存在的，需要由EM∥x轴理解E，M两点的纵坐标相同，进一步理解E，M两点关于抛物线的对称轴对称.

【答案】(1)易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=

(2)

(3)若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有

，解得 ，

所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.

①当t=1时， ， ，故 ,

又在Rt△MPC中， ，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形②当t=2时， ， ，故 ,

又在Rt△MPC中， ，故MNMC，此时四边形BCMN不是菱形.

【点评】此题是一道解析几何问题，综合考查了二次函数、一次函数、正方形、抛物线的平移等知识，需要学生系统掌握待定系数法，数形结合及分类讨论的数学思想，才能很好的解答.(1)(2)两问设计简洁明快，上手容易.第(3)问属于存在探究性问题，这类问题往往是要判断符合条件的关系式或结论是否存在，解答时，可以先对其做出肯定的假设，然后由此出发，结合已知条件进行计算和推理论证，若推出矛盾结论，则可否定先前假设，若推出合理结论，则肯定假设正确，从而最终得出问题的结论.难度较大

6. (本题满分12分) (2011山东德州，23，12分)在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数 图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A.

(1)如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由.

(2)如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C.当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标.②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的 .若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由.

【解题思路】(1)由于以P为圆心的圆与x、y轴相切，可判断四边形OKPA是矩形，又因为圆的半径相等，所以四边形OKPA是正方形.

(2)先判断△PBC为等边三角形，然后留言等边三角形性质求出：PA=OG=2，BG=CG=1，OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3，即可确定点A，B，C的坐标.从而写出二次函数的解析式，最后再根据△MBP的面积是菱形ABCP面积的 确定M的坐标.

【答案】(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切， PAOA，PKOK.PAO=OKP=90.又∵AOK=90，PAO=OKP=AOK=90.四边形OKPA是矩形.又∵OA=OK，四边形OKPA是正方形.

(2)①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为 .

过点P作PGBC于G.

∵四边形ABCP为菱形，

BC=PA=PB=PC.

△PBC为等边三角形.

在Rt△PBG中，PBG=60，PB=PA=x，

PG= .

sinPBG= ，即 .解之得：x=2(负值舍去). PG= PA=BC=2.易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3.A(0， )，B(1，0)，C(3，0).设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c.据题意得： ，解之得：a= ， b= ，c= .二次函数关系式为： .

②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得： ，解之得：u= ，v= .直线BP的解析式为： .过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为： .解方程组： ，得： .过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为： .0= . .

直线CM的解析式为： .解方程组：

得： .综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：(0， )，(3，0)，(4， )，(7， ).

解法二：∵ ，A(0， )，C(3，0)显然满足条件.延长AP交抛物线于点M，由抛物线 与圆的轴对称性可知，PM=PA.又∵AM∥BC， .点M的纵坐标为 .又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.点M(4， )符合要求.点(7， )的求法同解法一.综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：(0， )，(3，0)，(4， )，(7， ).

解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA.又∵AM∥BC， .点M的纵坐标为 .即 .解得： (舍)， .点M的坐标为(4， ).点(7， )的求法同解法一.综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：(0， )，(3，0)，(4， )，(7， ).

【点评】这是一道以坐标系为背景，它综合了反比例函数、二次函数、圆以及特殊四边形等知识，本题图形熟悉，解法常规.但题目的切入点比较新颖.虽是老图，但蕴含新意;虽是陈题，但体现新知.让学生有一种似曾相识的感觉，提高了学生的解题兴趣，同时也激发了学生思考的热情，对学生能力的考察也起到了比较显著的作用.题目综合性强，难度较大.

7.(山东临沂 第25题 11分)如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.

(1)求证：EF=EG;

(2)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由;

(3)如图3，将(2)中的正方形ABCD改为矩形ABCD，且使三角板的一边始终经过点B，其他条件不变，若AB=a,BC=b,求 的值.

解题思路：(1)要证明EF=EG可以证它们所在△ABG与△ADF全等;(2)由(1)小题的启发，过点E分别作BC边和CD边的垂线段，构造全等三角形来证明EF=EG;也可以过点A分别作EF和EG的平行线，把(2)小题转化为(1)小题，由平行线得到成比例线段容易证得结论;(3)分别过点E分别作EMBC于M,ENCD于N，构造相似三角形，根据对应边成比例，把 转化为 ,再由平行线得到成比例线段，用a、b表示 从而求解.

解答：(1)∵正方形ABCD，AB=AD,BAD=BAF+FAD=900,

∵BAF+GAB=900, FAD=GAB,

∵ABG=900, △ADF≌△ABG, EF=EG.

(2)过点E分别作EMBC于M,ENCD于N，

∵正方形ABCD，四边形EMCN是正方形，EM=EN.

∵GEM+MEF=900, FEN+MEF=900, GEM=FEN,

∵ENF=EMG=900, △ENF≌△EMG, EF=EG.

(3) 过点E分别作EMBC于M,ENCD于N，

易证GEM=FEN, △GEM∽△FEN, ,

8. (2011四川广安，30，12分)如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，BAD= 90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A(-1.0)，B( -1.2)，D( 3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。

(1)求抛物线的解析式

(2)抛物线上是否存在点P.使得PA= PC.若存在，求出点P的坐标;若不存在.请说明理由。

(3)设抛物线与x轴的另个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q在什么位置时有 最大?并求出最大值。

【解题思路】1)待定系数法求二次函数解析式

2)求线段AC垂直平分线与抛物线的交点

3)为直线上一点到直线外两点距离差最小 利用轴对称解题

【答案】(1)解：由题意可得M(0.2)，N(-3.2)

解得：

y=

(2)∵PA= PC P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过(-1.2)(1.0) 所在的直线为y=-x+1

解得：

P1( )P2( )

(3)D为E关于对称轴x=1 .5对称

CD所在的直线y=-x+3

yQ=4.5Q(-1.5.4.5)

最大值为QC= =

【点评】本题综合性较强。为难题

9.(2011四川眉山，26，11分)如图，在直角坐标系中，已知点A(0，1)，B(-4，4)，将点B绕点A顺时针方向90得到点C;顶点在坐标原点的拋物线经过点B.

(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;

(2)抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1;

(3)在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值.

【解题思路】(1)设抛物线的解析式：y=ax2，把B(-4，4)代入即可得到a的值;过点B作BEy轴于E，过点C作CDy轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C点坐标(3，5);

(2)设P点坐标为(a，b)，过P作PFy轴于F，PHx轴于H，则有d1= a2，又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2= a2+1，即有结论d2=d1+1;

(3)△PAC的周长=PC+PA+5，由(2)得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为(3， )，此时PC+PH=5，得到△PAC的周长的最小值=5+6=11.

【答案】(1)设抛物线的解析式：y=ax2，

∵拋物线经过点B(-4，4)，

4=a42，解得a= ，

所以抛物线的解析式为：y=

过点B作BEy轴于E，过点C作CDy轴于D，如图，

∵点B绕点A顺时针方向90得到点C，

Rt△BAE≌Rt△ACD，

AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，

OD=AD+OA=5，

C点坐标为(3，5);

(2)设P点坐标为(a，b)，过P作PFy轴于F，PHx轴于H，如图，

∵点P在抛物线y= x2上，

b= a2，

d1= a2，

∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，

在Rt△PAF中，PA=d2=

= a2+1，

d2=d1+1;

(3)由(1)得AC=5，

△PAC的周长=PC+PA +5

=PC+PH+6，

则C、P、H三点共线时，PC+PH最小，

此时P点的横坐标为3，把x=3代入y= x2，得到y= ，

即P点坐标为(3， )，此时PC+PH=5，

△PAC的周长的最小值=5+6=11.

【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax2;也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短.本题第(3)小题的关键是将△PAC的周长转化为PC与PH和的关系，从而求出三角形周长的最小值.难度较大.

10、(2011山西，26，14分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过 O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从点A出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O﹣C﹣B相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P、Q运动的时间为t秒 (t0)，△MPQ的面积为S.

(1)点C的坐标为 ，直线l的解析式为

(2)试求出点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。

(3)试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。

(4)随着P 、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形，请直接写出t的值。

【解题思路】(1)A的坐标为(8，0)，B的坐标为(11，4)由平行四边形的性质可知点C的坐标为(3，4)，又O(0,0)所以直线l的解析式为 。(2)由题意可知随着P、Q两点的运动△MPQ的形状也在发生变化，所以我们要分情况讨论，易求出AB=OC=5，OP=t，AQ=2t，OM= t，Q与B重合时2t =5，t= ，M与C重合时，Q在AB上， t =5，t=3，点Q与点M相遇时，16﹣2t=t， t= 。Q在AB上时，如图1，0

【答案】解：(1)点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为 。

(2)根据题意，得OP=t，AQ=2t，分三种情况讨论：

①当0

过点C作CDx轴于D，过点Q作QEx轴于E，可得

△AEQ∽△ODC

，

AE= ，EQ=

Q点的坐标是(8+ ， )，PE=8+ ﹣t=8+

S= = (8+ )= +

②当

∵BQ=2t﹣5，OF=11﹣(2t﹣5)=16﹣2t。

点Q的坐标是(16﹣2t，4)PF=16﹣2t﹣t=16﹣3t。

S= = (16﹣3t)= +

③当点Q与点M相遇时，16﹣2t=t，解得t=

当3

S= = 4(16﹣3t)=﹣6t﹣32。

(3)①当0

∵a= 0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=﹣20，

当0

t= 时，S有最大值，最大值为

②当

∵a=﹣20，抛物线开口向下，

t= 时，S有最大值，最大值为

③当3

又∵t=3时，S=14，当t= 时S=0，0

综上所述，当t= 时，S有最大值，最大值为

(4)当t= 时，△QMN为等腰三角形

【点评】本题是一个代数、几何综合题，涉及到的知识点较多，主要涉及到平行四边形性质、勾股定理、三角函数、三角形面积、二次函数、一次函数、等腰三角形等。第一问较为简单一般不会出错，第二问需要根据动点的位置进行分类讨论，关键在于准确进行分类，分类的依据就是点的位置的变化(动点在不同线段上)，此问容易因分类不清而导致错误，这一问是第三问的前提，一定要认真细心确保正确，不然第三问就不可能做对，第三问根据第二问的结果分别求出每个表达式的最大值，再进行比较，有范围的函数的最值要时刻注意自变量的取值范围，第四问 判断等腰三角形的存在性问题也要分情况讨论，对应此题先判断三角形是直角三角形就降低了难度。难度较大。

11. (2011黑龙江绥化，28，10分)

已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，ABC=60，BC与x轴交于点C。

(1)试确定直线BC的解析式.

(2)若动点P从A点出发沿AC向点C运动(不与A、C重合),同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与A、C重合),动点P的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S,P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

(3)在(2)的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形?若存在，请直接写出N点的坐标;若不存在，请说明理由。

【解题思路】(1)根据直线 ，可出求出其与坐标轴交点的坐标：A( -4，0)，B(0，4 )，所以OA=4，OB=4 ，可求出BAO=60，∵ABC=60，△ABC是等边三角形，OC=OA=4，C(4，0)，用待定系数法求出一次函数的关系式;(2)分当点Q在BC和AB上两种情况，求出AP上高的表达式从而写出S与t的函数关系式;(3)当点Q与点B重合时，△APQ的面积最大，AQ(B)作为菱形的一边有三种情况(4，0)(-4，8)(-4，-8)，AQ(B)作为菱形的一条对角线有一种情况(-4， ).

【答案】(1)由已知得A点坐标(-4，0)，点B坐标为(0，4 ).∵OA=4，OB=4 ，BAO=60，∵ABC=60，△ABC是等边三角形.∵OC=OA=4，C点坐标(4，0).设直线BC的解析式为y=kx+b, , ,直线BC的解析式为 .(2)当P点在AO之间运动时，作QHx轴.∵ ， ，QH= 5t.，S△APQ= (0

【点评】本题综合考查三角函数、一次函数、特殊四边形等知识及运动的观点解题，涉及的数据多，关系复杂，因此能读懂题意，明确题中数量关系是解题的关键。

12.(2011浙江湖州，24，12分)如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上，M是BC的中点.P(0，m)是线段OC上一动点(C点除外)，直线PM交AB的延长线于点D.

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);

(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值;

(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作ME的垂线，垂足为H(如图2).当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.(不必写出解答过程).

【解题思路】第(1)由于M是BC的中点，AD∥OC，可得Rt△PMC≌Rt△DMB，从而得出CP=BD，容易得D的坐标为(2，4-m).

第(2)是条件不确定，也就是△APD是等腰三角形没有说哪两边相等，所以应分三种情况来讨论.计算的过程构造直角三角形来进行计算，

第(3)是探究性试题，P点的运动，带动了图形发生变化，也就是E点在x轴上的运动又引起了H点的变化，经过探究可知H点的轨迹是个90的圆弧.直径是OM，于是可计算出点H运动的路径.

【答案】解：(1)由题意得CM=BM，

∵PMC=DMB，

Rt△PMC≌Rt△DMB，

DB=PC，

DB=2-m，AD=4-m，

点D的坐标为(2，4-m).

(2)分三种情况：

①若AP=AD，

则4+m2=(4-m)2，

解得m=

②若PD=PA，过P作PFAB于点F，

则AF=FD= AD= (4-m)，

又OP=AF，

m= (4-m)，

解得：m=

③若DP=DA，

∵△PMC≌△DMB，

PM= PD= AD= (4-m)，

∵PC2+CM2=PM2，

(2-m)2+1= ，

解得 ， (舍去).

综上所述，当△APD是等腰三角形时， m的值为 或 或 .

(3)点H所经过的路径长为

【点评】本题考查了点的坐标，全等形，等腰三角形，特别是分类的数学思想以及变化的几何图形中变化的点的轨迹.难度较大.对于初中不要求掌握的高中的点的轨迹的知识，学生要有方法来进行探究.其实也很简单，就是多画几点来，看动点如何变化.当本题知道动点的轨迹是圆弧后，还要找出圆弧的圆心角以及半径的大小.本题难度较大.

13.(2011浙江义乌，23,10分)如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转角(0180)，得到△A1B1P,连结AA1， 射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.

(1) 如图1，当060时，在角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关系(填相似或全等)，并说明理由;

(2)如图2，设ABP= . 当60180时，在角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等?若存在，求出与之间的数量关系;若不存在，请说明理由;

(3)如图3，当=60时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面

积为S，求S关于x的函数关系式.

【解题思路】由旋转的特征可推得PAA1 =PBB1,由E，所以两三角形相似，位置改变后，仍可推得△BEF ∽△AEP，可先假定△BEF≌△AEP，只要满足BE=AE，即BAE=ABE，因为BAC=60，于是BAE= .即 即=2+60 . 由旋转的过程知AB=A1B1=4，只要用x表示出A1B1边上的高，由旋转推得△PAA1是等边三角形，分别过点B、A1作AC边上的垂线，可得到A1B1边上的高，从而求得解析式.

【答案】解: (1) 相似

由题意得：APA1=BPB1=, AP= A1P , BP=B1P,则PAA1 =PBB1 = ,∵PBB1 =EBF , PAE=EBF.又∵BEF=AEP ,

△BEF ∽△AEP.

(2)存在，理由如下：

易得：△BEF ∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可 BAE=ABE, ∵BAC=60 , BAE= .

∵ABE=BAE=ABE.

即=2+60 .

(3)连结BD，交A1B1于点G，过点A1作A1HAC于点H. ,∵B1 A1P=A1PA=60.

A1B1∥AC . 由题意得：AP= A1 P, A=60. △PAA1是等边三角形.

A1 H= .

在Rt△ABD中，BD= ,BG= .

, (02).

【点评】本题是一道几何探究题，做题的关键是把握其中的规律，顺藤摸瓜，找到图形变换前后图形的异同.在解题时注意分解图形，找寻基本图形之间的联系.难度较高.

24.(2011浙江义乌，24,12分)已知二次函数的图象经过A(2，0)、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.

(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;

(2)如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形?若存在，求出点D的坐标;若不存在，请说明理由;

(3)如图2，点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外)，以每秒 个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN. 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.

【解题思路】根据题意，设解析式为一般式根据题意即可求得;假定这样的等腰梯形存在，可先确定B点坐标，则BP直线的解析式易得，看OD与BP是否平行，以确定等腰梯形的底和要，然后根据腰相等确定D点是否存在;经过观察发现翻折后的公共部分，图形不唯一，t=2时是临界点，这样分情况0

【答案】解：(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,

由题意得 解得

二次函数的解析式为y= x2-8x+12 , 点P的坐标为(4，-4).

(2)存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：

当y=0时，x2-8x+12=0 , x1=2 ， x2=6.

点B的坐标为(6，0).

设直线BP的解析 式为y=kx+m,

则 解得

直线BP的解析式为y=2x-12.

直线OD∥BP.

∵顶点坐标P(4， -4), OP=4 .

设D(x，2x) , 则BD2=(2x)2+(6-x)2.

当BD=OP时，(2x)2+(6-x)2=32.

解得：x1= ，x 2=2.

当x2=2时，OD=BP= ，四边形OPBD为平行四边形，舍去.

当x= 时四边形OPBD为等腰梯形 .

当D( ， )时，四边形OPBD为等腰梯形 .

(3)① 当0

∵运动速度为每秒 个单位长度，运动时间为t秒，

则MP= t , PH=t，MH=t，HN= t MN= t.

S= tt = t2

② 当2

, .

=3t2-12t+12.

S= t2-(3t2-12t+12)= - t2+12t-12, 当0

【点评】本题是一道函数与几何图形相结合的动点移动探究题，做题时注意从整体上把握题目的情况，然后分情况进行讨论，对于每个细节的处理都要细心，本题可以说是本套试卷的压轴题，细节决定成败，即使在做的过程中出现拦路虎也应根据自己的思路结合条件向目标多走几步.本题易错在不进行分情况讨论，忽视重合部分的图形不是一种情况.难度较大.

以上就是初三寒假作业数学动态问题检测试题的全部内容，希望你做完作业后可以对书本知识有新的体会，愿您学习愉快。