利用数学思想处理三角函数问题

　　1. 数形结合思想

　　体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。

　　例1. 从小到大的顺序是___________。

　　解析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通，若注意到相差较大，容易利用单位圆上的三角函数线区分它们各自函数值的大小。

　　设(如图所示)

　　可知b<0

　　例2. 函数的定义域是____________。

　　解析：该函数定义域即不等式组的解集，即的解集，若用传统方法则要求与的交集，不太方便。

　　若画出y=cosx，的图象(如图所示)

　　由，易得

　　2. 转化与化归思想

　　体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值(域)、最值、比较大小等问题。

　　例3. 若，则( )

　　A. B.

　　C. D.

　　解析：若直接比较a与b的大小比较困难，若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了。

　　因为

　　又因为

　　所以，所以

　　又因为a，b>0，所以a

　　故选(A)。

　　例4. 求函数的值域。

　　解析：先切割化弦，统一函数名称，得：

　　令

　　因为，所以

　　于是求原函数的值域转化为求函数，由的值域，易得，所以原函数的值域为。

　　3. 函数与方程思想的应用

　　体现在三角函数中是用函数的思想求解范围问题，用方程的思想解决求值、证明等问题。

　　例5. 已知函数

　　，当有实数解时，求a的取值范围。

　　解析：由得

　　分离a得：

　　问题转化为求a的值域。

　　因为

　　所以

　　故当时，有实数解。

　　例6. 已知，，求的值。

　　解法1：只需求α的某个三角函数或α的值，又只需用倍角公式把已知条件“缩角升幂”转化为解三角方程。

　　由倍角公式，原方程化为：

　　分解因式得：

　　由

　　所以

　　得

　　解法2：可以将原方程配方转化得：

　　即

　　得

　　因为

　　则

　　所以只有

　　解得

　　所以

　　4. 分类讨论思想

　　体现在三角函数中是根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论。

　　例7. 已知：，求的值。

　　解析：由已知条件得：

　　即

　　因为

　　所以

　　所以

　　这里要求即求，需要去掉绝对值，从而对的符号要展开讨论：

　　(1)当时，

　　所以;

　　(2)当时，

　　所以;

　　综上

　　5. 分析与综合的思想

　　体现在三角函数中是把多边形分割为三角形，把求某值转化为求另外的值等，然后依据分析结果，综合写出求解过程。

　　例8. 设，则arc cosx的取值范围是_____________。

　　解析：运用分析与综合的思想方法，先分析x的取值范围，再综合求arc cosx的取值范围。

　　因为

　　则

　　所以

　　即

　　所以填

　　例9. 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。

　　解析：先分析如何找到解题的突破口，再综合写出解题过程，如图所示，连结BD，则四边形ABCD的面积。而两个三角形的两边已知，只须求得已知两边的夹角的正弦值，又，只需求得其中一个角的正弦值或余弦值，解题从求余弦值开始，连结BD，在△ABD中，由余弦定理，得：

　　在△CBD中，同理得：

　　所以

　　化简得2+cosA=3cosC

　　又因为

　　所以

　　且sinA=sinC

　　所以2—cosC=3cosC

　　则

　　所以四边形ABCD的面积：

　　6. 整体思想的应用

　　体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。

　　例10. 已知

　　(1)求的值;

　　(2)求的值。

　　解析：由条件和问题联想到公式，可实施整体代换求值。

　　(1)由平方，得：

　　即

　　因为

　　又因为

　　所以

　　故

　　(2)