2012-12-25
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一、梯形的定义、性质及判定:
1.定义:只有一组对边平行的四边形叫做梯形.两腰相等的梯形叫做等腰梯形;有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
2.分类:梯形分为一般梯形和特殊梯形,特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形.
3.等腰梯形:(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形。
(2)性质:等腰梯形的腰相等,同一底上的两个内角相等,等腰梯形的对角线相等。
(3)判定方法:①两腰相等的梯形是等腰梯形;
②同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;
③对角线相等的梯形是等腰梯形.
二、三角形、梯形的中位线:
1. 三角形中位线(1)定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2)定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
2.梯形中位线(1)定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
(2)定理:梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
三、研究梯形问题的主要方法:
将梯形问题通过作辅助线转化成三角形、平行四边形或矩形来解决。
与些同时,学生应当理解并掌握梯形常用的七种辅助线:1.平移一腰;2.过顶点作高;3.平行一条对角线;4.延长两腰相交于一点;5.过一腰中点和顶点作直线;6.过一腰的中点作另一腰的平行线;7.作梯形的中位线。
(1)考查梯形的有关概念,梯形的一些有关计算(如求梯形的角、高以及面积);
(2)考查梯形中位线、梯形的对角线,以及梯形的常见辅助线的添法;
(3)有关梯形的拼图问题以及梯形为背景的实际问题在段考、中考中也有体现。
(1)误认为梯形只有等腰梯形与直角梯形两种,而实质上这两种只是梯形的一个特殊情况;(2)对等腰梯形判定定理把握不准,忽视了“同一底”这一前提条件。
【典型例题】(2010年安徽省模拟)如图,在梯形ABCD中AD//BC,BD=CD,且∠ABC为锐角,若AD=4 ,BC=12,E为BC上的一点,当CE分别为何值时,四边形ABED是等腰梯形?直角梯形?写出你的结论,并加以证明。
解:当CE=4时,四边形ABCD是等腰梯形
在BC上截取CE=AD,连接DE、AE.
又∵AD//BC, ∴四边形AECD是平行四边形
∴AE=CD=BD
∵BE=12-4=8>4, 即BE>AD
∴AB不平行于DE∴四边形ABED是梯形
∵AE//CD,CD=BD, ∴∠AEB=∠C=∠DBE[来源:学科网]
在△ABE和△DEB中
AE=DB, ∠AEB=∠DBE,BE=EB
△ABE≌△DEB(SAS) , ∴AB=DE
∴四边形ABED是等腰梯形
当CE=6,四边形ABED是直角梯形
在BC上取一点E,使得EC=BE=BC=6,连接DE,
∵BD=CD,∴DE⊥BC
又∵BE≠AD,AD//BE, ∴AB不平行于DE
∴四边形ABDE是直角梯形。
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