一、知识要点：

1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ>0

定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0

定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ<0

2、根的判别式逆用(注意：根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。

定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根

定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根

定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根

注意：(1)再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.

二.根的判别式有以下应用：

①不解一元二次方程，判断根的情况。

例1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1) 2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)

解：(1) 2x2+3x-4=0

a=2, b=3, c=-4,

∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0

∴方程有两个不相等的实数根。

(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，

∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,

∵无论b取任何关数，b2均为非负数，

∴Δ≥0，故方程有两个实数根。

②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

例2.k的何值时?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;

分析：由判别式定理的逆定理可知(1)Δ>0;(2)Δ=0;(3)Δ<0;

解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k

(1)∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ>0，即36-4k>0.解得k<9

(2)∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9

(3)∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9

③证明字母系数方程有实数根或无实数根。

例3.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。

证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)

=4m2-4(m4+5m2+4)

=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)

=-4(m2+2)2

∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,

∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0.

∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：

(1)计算Δ(2)用配方法将Δ恒等变形(3)判断Δ的符号(4)结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。

④应用根的判别式判断三角形的形状。

例4.已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2

证明：整理原方程：

方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2

整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2

(c+b)x2-2

根据题意：

∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ=(-2

4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0

ma2-c2m+b2m=0

∴Δ=m(a2+b2-c2)=0

又∵ m>0,∴a2+b2-c2=0∴a2+b2=c2又∵a,b,c为ΔABC的三边，∴ΔABC为RtΔ。