2015-10-16
收藏
根据量、度量单位(基准量)与量数的基本关系:
量=度量单位(基准量)量数。
我们已经知道:当a、b是自然数,且b0时,除法算式ab表示两种意义:
⑴由量基准量(度量单位)=量数,可知:ab可以表示a是b的几倍或几分之几。这时a与b表示两个量。
⑵由量量数=基准量(度量单位),可知:ab可以表示什么数的b倍等于a,或者把a平均分成b份,每份是多少。这时a表示一个量,b表示量数(用所求的量去度量a所得的结果)。
从实际问题抽象出来的除法算式ab,究竟表示上述两种意义中的哪一种,必须结合具体情景才能来确定。
当a、b为分数时,除法算式ab仍然具有上述两种意义,但必须探索它的算法。分数除法的算法分两种情形来探索:一是除数是整数的情形;二是除数是分数的情形。
一、除数是整数的分数除法
下图(图1)是一个长方形,把它的涂色部分平均分成2份,每份是这个长方形的几分之几?
图1
我们可以从前面的分数墻上直接看出这个结果。
但是,我们还需要探索,从算式2怎么算出结果呢?
算法1:2==。
一个分数的分子缩小到原来的一半,分母不变,所得的分数就是原来的一半。
算法2:因为的一半等于的,所以,
2==。
比较上面两种算法,算法1有局限性,它转化为两个整数的除法运算,可是在整数范围除法并非总能实施,畅通无阻。
如果图1中的涂色部分平均分成3份,每份是这个长方形的几分之几?
算式:3=?
上面的算法1就行不通了,算法2行得通。
因为3=的,所以,
3==。图2
图2中的斜线部分是长方形的,也验证了上面的算法是正确的。
从以上的探索结果,可以产生一个猜想:除以一个整数(零除外)等于乘这个整数的倒数。
这个猜想是否成立?有待检验。
理解分数除法的意义,还有另一条重要途径。
在探索分数乘法意义的时候,我们得到一个重要的数量关系:
量=度量单位量数
从这个基本关系可以引伸出两个变式:
量量数=度量单位,
或量度量单位=量数。
因此,对于除法算式3=?的意义,可以作这样解释:用什么数为度量单位去度量时,量数是3?于是便有下面的代数解法:
设3=x,
可得,3x=,
x=,
x=。
即3=。
在图2中,用斜线部分(即)为度量单位去度量涂色部分(即)时,量数的确是3。这里,我们又看到了,代数的方法与图形的直观相互印证,和谐统一。
代数在解法的过程中,注意到3=x和x=,
得3=。
这也验证了一个数学事实:除以一个自然数(零除外)等于乘这个数的倒数。
二、除数是分数的除法
这个探索其实不必再从具体情景或实际操作入手。
因为前面在探索除数是整数的分数除法的时候,已经获得了重要的数学事实:除以一个自然数(零除外)等于乘这个数的倒数。因此,可以类比,得到猜想:除以一个分数是否等于乘这个分数的倒数呢?
验证这个猜想,除了教材提供的方法外,还有其他途径。
途径1:用代数方法检验。
计算:8=?
设8=x,
可得,x=8,
x=8,
x=12。
注意到8=x和x=8,即8=8。
途径2:从已知到未知的推理。
8=8(1)
=8根据倒数关系:=1
=12。
因此,无论除数是整数还是分数,分数除法只有如下法则:
除以一个数(零除外)等于乘这个数的倒数。
这个法则也告诉我们,倒数概念的重要性:有了倒数,乘法和除法两种不同的运算可以统一为乘法运算。
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |