上节课我们学习了集合和集合的表示方法，这节课我们来学习集合质检的关系和运算，下面是人教B版高一数学上册第一单元集合之间的关系与运算知识点，一起来学习吧!

一.课标解读

1.《普通高中数学课程》课程中明确指出"理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 在具体情境中,了解全集与空集的含义."

2.重点:子集的概念

3.难点:元素与子集.属于与包含之间的区别.

二.要点扫描

1. 子集的定义

如果集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集.也说集合包含于集合,或集合包含集合,记作或(注意:任何一个集合是它本身的子集)

2. 空集的定义

空集是任意一集合的子集,也就是说,对任意集合,都有.

3. 两集合相等

如果,则等于,记作=;反之,如果=,则.

4. 真子集的定义

如果,且中至少有一个元素不属于,那么集合是集合的真子集,记作.以上条件还可概括为:如果,且,则.(注意:空集是任何非空集合的真子集.)

5. 有限集合的子集个数

个元素的集合有个子集;有个非空子集;有个真子集;有个非空真子集.

6. 维恩图

这种图在数学上也称为文(Tohn Venn,1834年~1923年英国逻辑学家)氏图.它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图的作用(就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那样),因此,边界用直线还是曲线,乃实线还虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元素或子集统统包在里边就行.决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素(事实上,这个集合可能与点毫无关系);至于边界上的点是否属于这个集合,也都不必考虑.

三.知识精讲

知识点1区分

表示以空集,为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;

当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.

知识点2区分与

表示元素与集合之间的关系,如:;

表示集合与集合之间的关系,如等.

四.典题解悟

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[题型一]子集与真子集

如果集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集. 如果,且中至少有一个元素不属于,那么集合是集合的真子集.

例1. 满足的集合是什么?

解析:由可知,集合必为非空集合;又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。满足条件的集合有,共十五个非空子集。

此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确。

答案:15

例2. 已知，试确定A，B，C之间的关系。

解析:由题意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}

答案:A，B，C之间的关系是

[题型二] 区分

是空集，是不含任何元素的集合;{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{};{}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}，{}，这也体现了"是集合还是元素，并不是绝对的"。

例3. 判断正误

(1) (2) = (3)

(4) (5) (6)

解析: 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;

当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.

答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).

[题型三] 集合的相等

例4. ，若，求。

解析:，即两集合的元素相同，有两种可能：

解得 ; 解得

∴或。

答案: 或。

例5. 含有三个实数的集合可表示为集合也可表示为集合,求.

解析:从集合相等及集合元素的特征入手.由集合元素的确定性及集合相等,得

=-----①,从而有,因为,所以代入①,得-----②,由②易知.当时,与集合的互异性不符,从而,,故.

答案:

-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------

1. 有关子集综合问题的解法

⑴在解子集的综合问题时，首先要注意集合自身的转化，能够用列举法表述的，尽可能用列举法，这样时的集合中的元素清晰明确，使问题简单化。其次，解决这类问题常用到分类讨论的方法。如即可分两类讨论：⑴⑵，而对于⑴又可分两类讨论：⑴⑵，从而使问题得到解决。需注意这种情况易被遗漏。注意培养慎密的思维品质

⑵解决子集问题的又一常用方法是数形结合。首先还是集合的自身转换，根据题意，用最适合的方法来描述集合，进行转换，然后利用数轴来体现子集的含义，即集合间的包含关系，再由图示找出相应的关系式，从而使问题得到解决。

例6. 已知集合，，若，求实数满足的条件。

解析:由于集合可用列举法表示为，所以可能等于，即;也可能是的真子集，即=，或=，或=，从而求出实数满足的条件。

∵，且，可得

⑴当时，，由此可知，是方程的两根，

由韦达定理无解;⑵当时①,即=,=, ，解得，

此时，符合题意，即符合题意;

②，，解得，

综合⑴⑵知：满足的条件是。

答案:

例7. 已知集合，，且，求实数的取值范围。

解析:此题要分和两种情况讨论。

⑴， 即，依题意，有，在数轴上作出包含关系图形，如图：有解得;　　⑵,即，解得;

综合以上两种情况，可知实数的取值范围是。

答案:

-----------------------------------------------错解点击-----------------------------------------------

例8. ⑴已知集合用列举法写出;

⑵已知集合用列举法写出。

错解: ⑴=

⑵=

正解: ⑴=

⑵=

分析:认识一个集合并非十分容易, 集合本身也可以做另外集合的元素.

⑴由已知条件注意到中的元素的属性是，即是的子集, 可以是, ∴=

⑵由已知条件注意到中的元素的属性是,即是的元素, 可以是,　　∴=

五.课本习题解析

习题1-1A(课本第118页)　　1.　　2.

六.同步自测

-----------------------------------------------双基训练-----------------------------------------------

1.集合的子集有 个

(A) 5　 (B)　 (C) 　 (D)

2.集合，，则有( )

(A) (B) (C) (D) 以上都不是

3.满足关系式的集合的个数为( )

(A) 　 (B) 　(C) 　 (D)

4.若集合M={x|x≤}，a=，则下列关系正确的是( )

(A).{a}M (B).{a}M (C).aM (D).aM

5. 下面六个关系式

① ②③ ④⑤⑥

其中正确的是 ( )

(A).①②③④ (B).③⑤⑥ (C).①④⑤ (D).①③⑤

6.已知集合和，那么( )

A. B. C. D.

7.设集合,则( )

A. B. C. D.=

8. 数集与的关系是( )

A. B. C. D.

9. 设集合则集合之间的关系是( )

. . . .以上都不对

10. 若则满足上述条件的集合有 个;

11. 设，，则 ;

12. 集合M={1，2，(1，2)｝有______个子集，它们是 。

13.同时满足(1)M{1，2，3，4，5}(2)若a∈M，则6a∈M的非空集合M有多少?写出这些集合来。

14.已知求证：。

15.已知求实数的值。

-----------------------------------------------------综合提高-----------------------------------------------------

16. 已知 ， .若，则实数 的取值范围是 ;

17.数集X={x|x=12m+8n，m，n∈Z｝与数集Y={x|x=20p+16q，p，q∈Z｝之间的关系是 ;

18.集合P={x,1｝, Q={y,1,2｝, 其中x, y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9｝, 且P是Q的真子集, 把满足上述条件的一对有序整数(x, y)作为一个点, 这样的点的个数是 个;

19.已知三个元素的集合 ， ,如果 ，那么 的值为 .

20. 已知，，求实数的取值集合。

21. 已知集合，，求的值。

七.