数学必修1(苏教版)

2．1　函数的概念和图象

2.1.3　函数的简单性质

在初中，我们学习了二次函数，通过二次函数的图象，知道x在某个范围内取值时，y的值随着x的增加而增加(或减小)，在高中，我们学习了函数的符号语言，那么如何用符号语言来定量地描述函数这一增减性质呢？

基础巩固

1．若函数f(x)＝x3(xR)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是()

A．单调递减的偶函数

B．单调递减的奇函数

C．单调递增的偶函数

D．单调递增的奇函数

解析：f(－x)＝(－x)3＝－x3在R上单调递减，且是奇函数．

答案：B

2．函数y＝1x＋2的大致图象只能是()

答案：B

3．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()

A．f(x)与g(x)均为偶函数

B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

C．f(x)与g(x)均为奇函数

D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．

f(x)为偶函数，g(x)为奇函数．

答案：B

4．函数f(x)＝4x＋12x的图象()

A．关于原点对称

B．关于直线y＝x对称

C．关于x轴对称

D．关于y轴对称

解析：∵f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)．

f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．

答案：D

5．如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0，＋)上是减函数，那么下述式子中正确的是()

A．f－34f(a2－a＋1)

B．f－34f(a2－a＋1)

C．f－34＝f(a2－a＋1)

D．以上关系均不确定

答案：B

6．函数①y＝|x|；②y＝|x|x；③y＝x2|x|；④y＝x＋x|x|在(－，0)上为增函数的有______(填序号)．

答案：④

7．已知f(x)是奇函数，且x0时，f(x)＝x(1－x)，则x0时，f(x)＝________.

解析：当x0时，－x0，又∵f(x)是奇函数，

f(x)＝－f(－x)＝－[－x(1＋x)]＝x(1＋x)．

答案：x(1＋x)

8．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝________.

解析：a＝1时，f(x)不是奇函数，f(1)有意义，由f(－1)＝－f(1)可解得a＝12.

答案：12

9．已知函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单调递增区间是________．

解析：∵f(x)为偶函数图象关于y轴对称，即k＝1，此时f(x)＝－x2＋3，其单调递增区间为(－，0)．

答案：(－，0)

10．判断函数f(x)＝x2－2x＋3，x＞0，0，x＝0，－x2－2x－3，x＜0的奇偶性．

解析：f(x)的定义域为R，关于原点对称．

①当x＝0时，－x＝0，

f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，

f(－x)＝－f(x)；

②当x＞0时，－x＜0，

f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；

③当x＜0时，－x＞0，

f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．

由①②③可知，当xR时，都有f(－x)＝－f(x)，

f(x)为奇函数．

能力提升

11．定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0且a1)，若g(2)＝a，则f(2)＝()

A．2 B.174 C.154 D．a2

解析：由条件得f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，f(－2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2即－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，两式相加得g(2)＝2.

a＝2，f(2)＝a2－a－2＝4－14＝154.

答案：C

12．设f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()

A．f(x)＋gx是偶函数

B．f(x)－gx是奇函数

C.fx＋g(x)是偶函数

D.fx－g(x)是奇函数

解析：∵f(x)和|g(x)|均为偶函数，

f(x)＋|g(x)|为偶函数．

答案：A

13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且知其定义域为[a－1,2a]，则()

A．a＝3，b＝0 B．a＝－1，b＝0

C．a＝1，b＝0 D．a＝13，b＝0

解析：∵b＝0；又a－1＝－2a，a＝13.

答案：D

14．如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在[－7，－3]上是()

A．增函数，最小值为－5

B．增函数，最大值为－5

C．减函数，最小值为－5

D．减函数，最大值为－5

解析：奇函数在定义域及对应定义域上的单调性一致，f(－3)＝－f(3)＝－5.

答案：B

15．函数y＝－x2＋|x|的单调减区间为________．

解析：作出函数的图象．

答案：－12，0和12，＋

特别提醒：切忌写成－12，012，＋

16．给定四个函数：①y＝x3＋3x；②y＝1x(x＞0)；③y＝x3＋1；④y＝x2＋1x.其中是奇函数的有________(填序号)．

答案：①④

17．定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：对任意x，y(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，求证：f(x)为奇函数．

证明：由x＝y＝0得f(0)＋f(0)＝f0＋01＋00＝f(0)，

f(0)＝0，任取x(－1,1)，则－x(－1,1)f(x)＋f(－x)＝fx－x1＋－xx＝f(0)＝0.

f(－x)＝－f(x)，

f(x)在(－1,1)上是奇函数．

18．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．

解析：∵f(x)在[－2,2]上为偶函数，

|1－m|＞|m|，|1－m|2，－1m＜12.

实数m的取值范围是－1，12.