1.2简易逻辑练习

1.2简易逻辑

本节应理解“或”，“且”，“非”的含义，并能准确运用这三个逻辑联结词，能判断复合命题的真假，能判断充分必要条件。

例1. 已知命题P:所有有理数都是实数，命题Q：正数的对数都是负数，则下列命题中真命题是（）

B C D

解： P真Q假， 为假， 为真，选D

例2. 若 、 是两个简单命题，且“P或Q”的否定是真命题，则必有（）

P真Q真BP假Q假CP真Q假DP假Q真

解： “P或Q”的否定是 ，且“P或Q”的否定为真命题， 为真命题，

P假Q假，选B

例3. 已知命题P:“若 且 ，则 ”，试写出P的否命题，命题的否定，判断它们的真假，并说明理由。

解：P的否命题：“若 或 ，则 ”为假命题。

P：“若 且 ，则 ”为假命题。

例4. 下列命题的否命题为假命题的是

A． P：存在

B． P：有的三角形是正三角形

C. P:所有能被3整除的整数为奇数

D. P：每一个四边形的四个顶点共圆

解：A.P的否命题：任意 ，为真

B.P的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假

C,P的否命题:存在一个能被3整除的整数不是奇数，0是能被3整除的非奇数，该命题为真

D． P的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题

答案选B

例5. 设 则“ 均为偶数”是“ 是偶数”的（）条件

仅充分B仅必要C充要D既不充分也不必要

解： 是偶数， 可同时为奇数，选A

例6.命题P：不等式 的解集是 ，命题Q：在 中，“ ”是“ ”成立的充要条件，则（）

P真Q假B“P且Q”真C“P或Q”假DP假Q真

解：由 得 ， ，即P为真命题

在 中，由正弦定理 和 有 , 即

另一方面，由 得 ， 即 ， 命题Q为真命题，

答案为B

例6. 已知 ，命题P：关于 的方程 没有实数根。命题Q： ，命题P是命题Q的（）条件

仅充分B仅必要C充要D既不充分也不必要

解：方程 没有实根，

又

P是Q的仅充分条件选A

例8,已知P： ，Q： ， 是 的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

解：由 得

即

由 得 ， 即

是 的必要不充分条件且

，故 ，

练习

1. 是 成立的（）条件

仅充分B仅必要C充要D既不充分也不必要

解： ，反之当 不能推出 ，选A

2.下列四个命题中真命题是（）

①若 ，则 互为倒数的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若 则方程 有实根”的逆否命题；

④“若 ,则 ”的逆否命题。

①②B②③C①②③D③④

解：①的逆命题为“若 互为倒数，则 ”为真命题。

对③ ， ③真，选C

3.在 中，“ ”是“ ”的_________条件

解：在 中， 不能推出

若

所以在 中，“ ”是“ ”的必要不充分条件。

4.命题P： ；命题Q：关于 的方程 有两个小于1的正根，则P是Q的_______条件

解：设 ，则 ，

P是Q的必要不充分条件。

（选做）5. ，设P： 和 是方程 的两个根，不等式 对任意实数 恒成立，Q：函数 有两个不同的实根。求使“P且Q”为假命题的实数m的取值范围。

解：由题设 ，

当 时 的最小值为3

要使 对任意 恒成立，只须 即

又 的判别式 得 或

综上要使“P且Q”为假命题，只须P假Q假或P真Q假或P假Q真，

即 或 或