高二数学解析几何综合提高

【本讲主要内容】

解析几何综合提高

直角坐标系（平面及空间），直线和圆的方程，简单的线性归划，直线与圆的位置关系

【知识掌握】

【知识点精析】

1. 两点间距离公式：

①数轴上：

②平面上：

③空间：

平面上线段AB的中点坐标公式

2. 直线的倾斜角、斜率

直线的倾斜角 ；

直线的斜率：

直线的斜率是平面直角坐标系中表示直线位置的重要特征数值，在判断两条直线的位置关系和确定它们的夹角等问题中起着关键作用。

3. 直线的方程：

①点斜式：

②斜截式：

③两点式：

④截距式：

⑤一般式：

4. 两条直线的位置关系：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2

则：

l1与l2的夹角公式： （为l1与l2的夹角）

点P（x0，y0）到直线l： 的距离公式：

5. 简单的线性归划：

在平面直角坐标系中，二元一次不等式 表示在直线 的某一侧的平面区域。

简单的线性归划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数ax＋by的最值问题，一些实际问题可以借助这种方法解决。

6. 曲线和方程：

把曲线看作适合某种条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}，建立直角坐标系后，点集P中任一元素M都有一个有序实数对（x，y）和它对应，（x，y）是某个二元方程f(x,y)＝0的解，反之以二元方程f(x,y)＝0的解为坐标，都有一点M与它对应，且M是点集P中的一个元素。这种对应关系就是曲线与方程的关系。

7. 圆的方程：

标准方程： ，其中圆心是（a，b），半径为r

一般方程：

参数方程： ，半径为r，为参数

8. 直线与圆的位置关系：

相切：d＝r 相离：d 相交：dr

其中：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径

【解题方法指导】

例1. 如图，圆 内有一点 ，AB为过 点且倾斜角为的弦。

（1）当 时，求AB的长。

（2）当弦AB被点 平分时，写出AB的直线方程。

解：（1）当 时，直线AB的斜率为

直线AB的方程为：

即： ①

把①代入 ，得

即

解此方程得

所以，

（2）当弦AB被点 平分时， ，直线O 的斜率为－2，所以直线AB的斜率为 ，根据点斜式，直线AB的方程为

即

点评：（1）中求|AB|时，由直线的方程和圆的方程联立消元得一元二次方程。此法是解直线与二次曲线问题的通则通法，本题求出A、B的横坐标后，在直角三角形中求出了|AB|比较简单。

例2. 求证到圆心距离为a（a0）的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。

证明：建立平面直角坐标系（如图）

设圆O的坐标为（0，0），半径为r

圆A的坐标为A（a，0），半径为R

过点P（x，y）的直线PB与圆O相切于点B

直线PC与圆A相切于点C，且PB＝PC

圆O的方程为 ，圆A的方程为

∵PB＝PC

由勾股定理得

即

化简得

这就是点P的轨迹方程，它表示一条垂直于x轴的直线

点评：恰当建立坐标系，可简化运算过程且所得轨迹方程形式简单。

【考点突破】

【考点指要】

本部分内容在高考题中，主要考查两类问题，基本概念题和求在不同条件下的直线方程大都属中、低档题，以选择和填空形式出现，每年必考。直线与圆综合性试题，此类题难度属中等，一般以选择题形式出现，偶尔也有大题出现，高考比重10~15分。

【典型例题分析】

例3. （05苏，19）如图，圆O1和圆O2的半径都等于1， 。过动点P分别作圆 、圆O2的切线PM、PN（M、N为切点），使得PM ，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程。

解：如图，以 的中点O为原点， 所在的直线为x轴，建立直角坐标系

则O1（－2，0），O2（2，0）

由已知

得

因为两圆的半径均为1

所以

设P（x，y），则

即

所以，所求的轨迹方程为

点评：本题考查了建立直角坐标系、求曲线方程的方法及圆的有关知识，属中档题。

例4. （04成都第三次检测，22）如图，已知⊙A： ，⊙B： ，动圆P与⊙A、⊙B都相切。

（I）求动圆圆心P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（II）若直线y＝kx＋1与（I）中的曲线有两个不同的交点P1、P2，求k的取值范围。

（III）若直线l垂直平分（II）中弦P1P2，求l在y轴上的截距b的取值范围。

解：（I）设⊙P的圆心P（x，y），半径为R

由题设，有

⊙P的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x轴上，且焦距长为4的双曲线的右支，其方程为

（II）由

①因为直线与双曲线有两个不同交点

（III）设

又M在 上

M（ ）

P1P2的垂直平分线l的方程

即

令x＝0得截距

又

点评：本题考查了圆和圆的位置关系；双曲线定义、标准方程；直线与双曲线的位置关系等，是一道综合性较强的题目，属难题。第（I）问中得出双曲线的标准方程时，一定要考虑是双曲线的一支还是两支，要写出x的范围。

【综合测试】

一、选择题（本大题共6个小题，共30分）

1. （05浙，2）点（1，－1）到直线 的距离是（ ）

A. B. C. D.

2. （05全国III，2）已知过点A（－2，m）和B（m，4）的直线与直线 平行，则m的值为（ ）

A. 0 B. －8 C. 2 D. 10

3. 过点A（4，a）和B（5，b）的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为（ ）

A. 6 B. C. 2 D. 不能确定

4. （05湘，4）已知点P（x，y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则 的取值范围是（ ）

A. [－2，－1] B. [－2，1] C. [－1，2] D. [1，2]

5. （04湖北，4）两个圆C1： 与C2： 的公切线有且仅有（ ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

6. （05辽，9）若直线 按向量a＝（1，－1）平移后与圆 相切，则C的值为（ ）

A. 8或－2 B. 6或－4 C. 4或－6 D. 2或－8

二、填空题：（本大题共4个小题，共20分）

7. （04上海理，8）圆心在直线 上的圆C与y轴交于两点A（0，－4），B（0，－2），则圆C的方程为_____________。

8. 直线l1： 与l2： 的夹角为，则等于_____________，过点（0，1）且与l1垂直的直线方程是_____________。

9. （04北京理，12）曲线C： 的普通方程是_____________，如果曲线C与直线 有公共点，那么实数a的取值范围是_____________。

10. （03黄冈第一次调研，14）设l1的倾斜角为， ，l1绕l1上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2，l2的纵截距为－2，l2绕P沿逆时针方向旋转 角得直线l3： ，则l1方程为_____________。

三、解答题：（本大题共4个小题，共50分）

11. 已知x，y ，求 的最大值。（12分）

12. 已知P是直线 上的动点，PA、PB是圆 的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB的面积的最小值。（12分）

13. （04江苏，19）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？（13分）

14. （05东城一模，19）已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（－1，0）和（1，0），点A、P、Q运动时满足 。

（I）求动点P的轨迹C的方程。

（II）设M、N是C上两点，若 ，求直线MN的方程。（13分）

综合测试答案

一、选择题：

1. D

解析：根据点到直线的距离公式 ，故选D。

2. B

解析： 故选B。

3. B

解析：依题有

故选B

4. C

解析：不等式组表示的平面区域如图

在A处取到最小值，B处取到最大值

故选C

5. B

解析：圆的方程C1： ，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4

两圆相交，公切线两条

故选B

6. A

解析：直线平移后方程为：

此时圆心到此直线距离为：

C＝8或－2

故选A

二、填空题：

7.

解析：圆心是AB的垂直平分线和 的交点，则圆心E（2，－3）

则圆的方程为

8. 60；

解析：

过点（0，1）且与l1垂直的直线方程是

即

9.

解析：由曲线C的方程得x＝ ，两式平方相加得

曲线C与直线 有公共点，则圆心到直线的距离不超过半径

即

10.

解析：∵l1与l3垂直

又因为

l2的方程为

由

又∵l1过点P

即l1方程为

三、解答题：

11. 解：方程 表示以O（2，0）为圆心，1为半径的圆，设P（x，y）在圆上，则 表示直线OP的斜率（O为原点），显然当OP与圆在第一象限相切时，斜率最大，这时P为切点

在Rt△OOP中，

12. 解：∵P在直线 上

设P（x， ）

C点坐标为（1，1）

S四边形PACB＝2S△PAC

∵

|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小

∵

四边形PACB的面积的最小值是

13. 解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目

由题意知：

目标函数

上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分，即为可行域

作直线l0： ，并作平行于直线l0的一组直线

与可行域相交，其有一条直线经可行域的M点，且与直线 的距离最大

这里M点是直线 交点

解方程组 得x＝4，y＝6

此时 （万元）

∵70 当x＝4，y＝6时，z取得最大值

答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。

14. 解：（I）∵ Q为AF的中点

又∵ PQAF

PQ为AF的垂直平分线

∵ AEP三点共线

P为AF的垂直平分线与AE的交点

P点的轨迹为椭圆，且2a＝4，c＝1

a2＝4，b2＝3

所求的椭圆方程为

（II）设两交点的坐标为M（ ），N（ ）

则

由已知

由上式可组成方程组

把③、④代入①得 ⑤

⑤－②4得

把

直线MN与x轴显然不垂直

所求直线MN的斜率

所求的直线MN的方程为