选修2-23.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

一、选择题

1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有()

A．a－c＝0且b－d0

B．a－c＝0且b＋d0

C．a＋c＝0且b－d0

D．a＋c＝0且b＋d0

[答案]　A

[解析]　z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)

＝(a－c)＋(b－d)i，

∵z1－z2是纯虚数，

a－c＝0且b－d0.

故应选A.

2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于()

A．－2b－2bi

B．－2b＋2bi

C．－2a－2bi

D．－2a－2ai

[答案]　A

[解析]　原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.

3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是()

A.115

B.3i

C.115＋3i

D.115＋23i

[答案]　C

[解析]　设这个复数为a＋bi(a，bR)，

则|a＋bi|＝a2＋b2.

由题意知a＋bi＋a2＋b2＝5＋3i

即a＋a2＋b2＋bi＝5＋3i

a＋a2＋b2＝5b＝3，解得a＝115，b＝3.

所求复数为115＋3i.故应选C.

4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

[答案]　A

[解析]　∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，

z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i.

点Z位于复平面内的第一象限．故应选A.

5．ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是()

A．2－3i

B．4＋8i

C．4－8i

D．1＋4i

[答案]　C

[解析]　AB对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，

设点D对应的复数为z，则DC对应的复数为(3－5i)－z.

由平行四边形法则知AB＝DC，

－1＋3i＝(3－5i)－z，

z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.

6．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为()

A．4

B．－1

C．6

D．0

[答案]　B

[解析]　z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i]

＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0

m2－3m－4＝0m2－5m－6＝0解得m＝－1，故应选B.

7．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()

A．－3i

B．3i

C．3i

D．4i

[答案]　B

[解析]　令z＝a＋bi(a，bR)，则a2＋b2＝9　①

又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数

a＝0b＋30　②

由①②得a＝0，b＝3，

z＝3i，故应选B.

8．已知z1，z2C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是()

A．6

B．5

C．4

D．3

[答案]　C

[解析]　设z1＝a＋bi(a，bR，a2＋b2＝1)

z2＝c＋di(c，dR)

∵z1＋z2＝2i

(a＋c)＋(b＋d)i＝2i

a＋c＝0b＋d＝2c＝－ad＝2－b，

|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|

＝(2a)2＋(2b－2)2＝2a2＋(b－1)2

＝2a2＋b2＋1－2b＝22－2b.

∵a2＋b2＝1，－11

02－2b4，|z1－z2|4.

9．复数z＝x＋yi(x，yR)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()

A．2

B．4

C．42

D．82

[答案]　C

[解析]　∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi

|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|

x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2

x＝－2y＋3，

2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝814y＋4y42.

10．若xC，则方程|x|＝1＋3i－x的解是()

A.12＋32i

B．x1＝4，x2＝－1

C．－4＋3i

D.12＋32i

[答案]　C

[解析]　令x＝a＋bi(a，bR)

则a2＋b2＝1＋3i－a－bi

所以a2＋b2＝1－a0＝3－b，解得a＝－4b＝3

故原方程的解为－4＋3i，故应选C.

二、填空题

11．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2R)，则|z2－z1|＝______________.

[答案]　(x2－x1)2＋(y2－y1)2

[解析]　∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，

z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，

|z2－z1|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.

12．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，bR)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________.

[答案]　3

[解析]　z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a＋33b＋[(a＋1)－(b＋2)i]

＝32a＋33b＋(a－b－1)i＝43，

32a＋33b＝43a－b－1＝0，解之得a＝2b＝1，

a＋b＝3.

13．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝______.

[答案]　16i

[解析]　原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i

＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.

14．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．

[答案]　4－2i

[解析]　∵BA对应的复数是1＋2i，

BC对应的复数为3－i，

AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.

又OC＝OA＋AC，

C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.

三、解答题

15．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．

[解析]　解法1：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)

＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)

＝(3－7i)－(3＋4i)

＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.

解法2：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)

＝(5－2－3)＋[－6＋(－1－4)]i

＝0＋(－11)i＝－11i.

16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2||z1|，求实数a的取值范围．

[解析]　z1－z2＝2＋3i－[(a－2)＋i]＝[2－(a－2)]＋(3－1)i＝(4－a)＋2i

由|z1－z2||z1|得

(4－a)2＋44＋9，(4－a)29，17

a的取值范围为(1,7)．

17．已知z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin且z1－z2＝513＋1213i，求cos(＋)的值．

[解析]　∵z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin

z1－z2＝(cos－cos)＋i(sin＋sin)＝513＋1213i

cos－cos＝513　①sin＋sin＝1213　②

①2＋②2得2－2cos(＋)＝1

即cos(＋)＝12.

18．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；

(2)z1＝2cos－i，z2＝－2＋2isin(0)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求的范围．

[解析]　(1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i，

f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i.

(2)z1＋z2＝(2cos－i)＋(－2＋2isin)＝(2cos－2)＋(2sin－1)i，

由题意得：2cos－202sin－10，即cos22sin12

又[0,2]，故4，56.