选修2-3 2.2.2 事件的独立性

一、选择题

1．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为()

A．p＋q－2pq　

B．p＋q－pq

C．p＋q

D．pq

[答案]　A

[解析]　恰有一株成活的概率为p(1－q)＋(1－p)q＝p＋q－2pq，故选A.

2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是()

A.1425　 B.1225　

C.34　 D.35

[答案]　A

[解析]　P甲＝810＝45，P乙＝710，所以P＝P甲P乙＝1425.

3．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是()

(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)

A.1320 B.15

C.14 D.25

[答案]　D

[解析]　设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝15，P(B)＝14.又A，B相互独立，则A，B也相互独立，则P(A B)＝P(A)P(B)＝4534＝35，故至少有一项合格的概率为P＝1－P(A B)＝25，故选D.

4．(2010湖北理，4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()

A.512 B.12

C.712 D.34

[答案]　C

[解析]　由题意P(A)＝12，P(B)＝16，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－1256＝712.

5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是()

A．p1p2

B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)

C．1－p1p2

D．1－(1－p1)(1－p2)

[答案]　B

[解析]　设甲解决问题为事件A，乙解决问题为事件B，则恰有一人解决为事件AB＋A B，由题设P(A)＝p1，P(B)＝p2，P(AB＋A B)＝P(AB)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)

＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)．

6．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是()

A．2个球都是白球

B．2个球都不是白球

C．2个球不都是白球

D．2个球中恰好有1个白球

[答案]　C

[解析]　从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝1312＝16，两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝56.

7．(2010广州模拟)在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是()

A.320 B.15

C.25 D.920

[答案]　C

[解析]　解法一：考查相互独立事件的概率公式．设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，则至少1人去此地的概率为P＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＋P(A)P(B)＝1445＋3415＋1415＝25.故选C.

解法二：考查对立事件P＝1－P(A－)P(B－)＝1－3445＝25.

8．若事件A、B发生的概率都大于零，则()

A．如果A、B是互斥事件，那么A与B也是互斥事件

B．如果A、B不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件

C．如果A、B是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件

D．如果A＋B是必然事件，那么它们一定是对立事件

[答案]　C

[解析]　当事件A、B如图(1)所示时，A与B互斥，但A与B不互斥，故A错；当事件A、B如图(2)时，A＋B是必然事件，但不是对立事件，故D错；如果A与B相互独立，则A的发生与否对B没有影响，故不是互斥事件；A与B不相互独立时也未必是互斥事件．

二、填空题

9．设A、B互不相容，且P(A)＞0，P(B|A)＝__________，若A、B相互独立，且P(A)＞0，则P(B|A)＝______________.

[答案]　0　P(B)

[解析]　∵A、B互不相容，A发生则B一定不发生，从而P(B|A)＝0；又A、B相互独立时，P(B|A)＝P(B)．

10．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A＋B)＝________，P(A|B)＝________.

[答案]　0.65　0.3

[解析]　∵A、B相互独立，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)＝0.3＋0.5－0.30.5＝0.65.

P(A|B)＝P(A)＝0.3.

11．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________．

[答案]　1124

[解析]　甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝121－131－14＝14，

乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝131－121－14＝18，

丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝141－121－13＝112.

甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1＋A2＋A3)＝14＋18＋112＝1124.

12．(2010重庆文，14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．

[答案]　370

[解析]　本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法．

设加工出来的零件为次品为事件A，则A为加工出来的零件为正品．

P(A)＝1－P(A)＝1－(1－170)(1－169)(1－168)＝370.

三、解答题

13．有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验．

(1)求恰有一件不合格的概率；

(2)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)．

[解析]　设从三种产品中各抽取一件，抽到合格品的事件为A、B、C.

(1)∵P(A)＝0.90，P(B)＝P(C)＝0.95，

P(A)＝0.10，P(B)＝P(C)＝0.05.

因为事件A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为：

P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝20.900.950.05＋0.100.950.95＝0.176.

(2)方法1：至少有两件不合格的概率为

P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.900.052＋20.100.050.95＋0.100.052＝0.012.

方法2：三件产品都合格的概率为P(ABC)

＝P(A)P(B)P(C)＝0.900.952＝0.812.

由(1)知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P(ABC)＋0.176]＝1－(0.812＋0.176)＝0.012.

14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．

(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；

(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

[解析]　(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

P(A)＝C26C14＋C36C310＝60＋20120＝23，

P(B)＝C28C12＋C38C310＝56＋56120＝1415.

(2)方法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为

P(AB)＝P(A)P(B)＝1－231－1415

＝145.

所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P＝1－P(AB)＝1－145＝4445.

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.

方法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23115＋131415＋231415＝4445.

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.

15．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．

[解析]　(1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．

由题设条件有P(AB)＝14，P(BC)＝112，P(AC)＝29，

即P(A)[1－P(B)]＝14，　①P(B)[1－P(C)]＝112， ②P(A)P(C)＝29. ③

由①、③得P(B)＝1－98P(C)，代入②得

27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0.

解得P(C)＝23或 119(舍去)．

将P(C)＝23分别代入③、②可得P(A)＝13、

P(B)＝14，

即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23.

(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则

P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－233413＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.

16．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．

方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a、b、c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．

(1)分别求应聘者用方案一和方案二时，考试通过的概率；

(2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小(说明理由)．

[解析]　记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A、B、C，则P(A)＝a、P(B)＝b、P(C)＝c.

(1)应聘者用方案一考试通过的概率

P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)＋abc＝ab＋bc＋ca－2abc，

应聘者用方案二考试通过的概率为

P2＝13P(AB)＋13P(BC)＋13P(AC)＝13(ab＋bc＋ca)；

(2)因为a、b、c[0,1]，所以P1－P2＝23(ab＋bc＋ca)－2abc＝23[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)]0，故P1P2.即采用第一种方案，该应聘者通过的概率大．