选修2-3 2.3.1 离散型随机变量的均值

一、选择题

1．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为()

A．无法求 B．0

C．E(X) D．2E(X)

[答案]　B

[解析]　只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．

∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，

E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.

2．设E()＝10，E()＝3，则E(3＋5)＝()

A．45 　 B．40 　

C．30 　 D．15

[答案]　A

3．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝()

A．0.765 B．1.75

C．1.765 D．0.22

[答案]　B

[解析]　设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X的可能取值为0、1、2，

P(X＝0)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－0.9)(1－0.85)＝0.015.

P(X＝1)＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.90.15＋0.10.85＝0.22.

P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.90.85

＝0.765.

E(X)＝00.015＋10.22＋20.765＝1.75.

4．设随机变量X的分布列如下表所示且E(X)＝1.6，则a－b＝()

X 0 1 2 3

P 0.1 a b 0.1

A.0.2 B．0.1

C．－0.2 D．－0.4

[答案]　C

[解析]　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，①

又由E(X)＝00.1＋1a＋2b＋30.1＝1.6，

得a＋2b＝1.3，②

由①②解得a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2，故应选C.

5．已知随机变量，其中＝10＋2，且E()＝20，若的分布列如下表，则m的值为()

1 2 3 4

P 14

m n 112

A.4760 B.3760

C.2760 D.18

[答案]　A

[解析]　＝10＋2E()＝10E()＋220＝10)＋2)＝9595＝114＋2m＋3n＋4112，又14＋m＋n＋112＝1，联立求解可得m＝4760，故选A.

6．(2008浙江)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()

A.35 B.815

C.1415 D．1

[答案]　A

[解析]　X＝1时，P＝C17C13C210；X＝2时，P＝C23C210.

E(X)＝1C17C13C210＋2C23C210＝73＋23C210＝35，

故选A.

7．(2010福建福州)已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为()

X 4 a 9

P 0.5 0.1 b

A.5 B．6

C．7 D．8

[答案]　C

[解析]　由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，b＝0.4，E(X)＝40.5＋a0.1＋90.4＝6.3，a＝7，故选C.

8．(2010新课标全国理，6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为()

A．100 B．200

C．300 D．400

[答案]　B

[解析]　本题以实际问题为背景，考查的事件的均值问题．

记“不发芽的种子数为”，则～B(1 000,0.1)，所以E()＝1 0000.1＝100，而X＝2，故EX＝E(2)＝2E()＝200，故选B.

二、填空题

9．(2010上海理，6)随机变量的概率分布列由下图给出：

x 7 8 9 10

P(＝x) 0.3 0.35 0.2 0.15

则随机变量的均值是________．

[答案]　8.2

[解析]　本小题考查随机变量的均值公式．

E()＝70.3＋80.35＋90.2＋100.15＝8.2.

10．已知某离散型随机变量X的数学期望E(X)＝76，X的分布列如下：

X 0 1 2 3

P a 13

16

b

则a＝________.

[答案]　13

[解析]　E(X)＝76＝0a＋113＋216＋3bb＝16，又P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1a＋13＋16＋16＝1a＝13.

11．从1、2、3、4、5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的数学期望是________．

[答案]　8.5

[解析]　从1、2、3、4、5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2、3、4、5、6、8、10、12、15、20，取每个值的概率都是110，E(X)＝110(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.

12．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：

X 0 1 2

P 12－p

p 12

则E(X)的最大值为________．

[答案]　32

[解析]　由表可得012－p1，01，从而得P[0，12]，期望值E(X)＝0(12－p)＋1p＋212＝p＋1，当且仅当p＝12时，E(X)最大值＝32.

三、解答题

13．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：

(1)若直到取到好电池为止，求抽取次数的分布列及均值；

(2)若将题设中的无放回改为有放回，求检验5次取到好电池个数X的数学期望．

[解析]　(1)可取的值为1、2、3，

则P(＝1)＝35，P(＝2)＝2534＝310，

P(＝3)＝25141＝110，

抽取次数的分布列为：

1 2 3

P 35

310

110

E()＝135＋2310＋3110＝1.5.

(2)每次检验取到好电池的概率均为35，

故X～B(n，p)，即X～B(5，35)，

则E(X)＝535＝3.

14．(2010江西理，18)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．

(1)求的分布列；(2)求的数学期望(均值)．

[解析]　本题考查学生的全面分析能力，考查学生对事件概率的求解能力以及对文字描述的理解能力．解本题的两个关键点是：一是的所有取值，二是概率．

解：(1)的所有可能取值为：1,3,4,6

P(＝1)＝13，P(＝3)＝16，P(＝4)＝16，P(＝6)＝13，所以的分布列为：

1 3 4 6

P 13

16

16

13

(2)E()＝113＋316＋416＋613＝72(小时)

15．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0.999104.

(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；

(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．

[解析]　解答第(1)题运用对立事件的概率公式，建立方程求解．

解答第(2)题运用二项分布的期望公式，建立不等式求解．

各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为，则～B(104，p)．

(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(＝0)＝1－(1－p)104，

又P(A)＝1－0.999104，

故p＝0.001.

(2)该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．

支出：10 000＋50 000，

盈利：＝10 000a－(10 000＋50 000)，

盈利的期望为：

E()＝10 000a－10 000E()－50 000，

由～B(104,10－3)知，E()＝10 00010－3，

E()＝104a－104E()－5104

＝104a－10410410－3－5104.

E(0104a－10410－5104a－10－5a15(元)．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．

16．(2009全国Ⅰ理19)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．

(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；

(2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及均值．

[解析]　设Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，

Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.

(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5.

由于各局比赛结果相互独立，故

P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)

＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.60.6＋0.40.60.6＋0.60.40.6＝0.648.

(2)X的可能取值为2,3.

由于各局比赛结果相互独立，所以

P(X＝2)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.60.6＋0.40.4＝0.52，

P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.

故X的分布列为

X 2 3

P 0.52 0.48

E(X)＝2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝20.52＋30.48＝2.48.