选修2-3 1.2.1第2课时 排列2

一、选择题

1．下列各式中与排列数Amn不相等的是()

A.n(n－1)！(n－m)！

B．(n－m＋1)(n－m＋2)(n－m＋3)…n

C.nn－m＋1An－1n

D．A1nAm－1n－1

[答案]　C

[解析]　由排列数公式易知A、B、D都等于Amn，故选C.

2．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()

A．36 B．30

C．40 D．60

[答案]　A

[解析]　奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4.故奇数有35A35＝36个．

3．上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是()

A．24 B．22

C．20 D．12

[答案]　D

[解析]　先排体育有2种排法，故不同排课方案有：2A33＝12种．

[点评]　有受限元素时，一般先将受限元素排好，即“特殊优先”．

4．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为()

A．18 B．36

C．48 D．60

[答案]　B

[解析]　甲在排头或排尾站法有A12种，再让乙在中间3个位置选一个，有A13种站法，其余3人有A33种站法，故共有A12A13A33＝36种站法．

5．由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有()

A．(2A45－A34)个

B．(2A45－A35)个

C．2A45个

D．5A45个

[答案]　A

[解析]　能被5整除，则个位须填5或0，有2A45个，但其中个位是5的含有0在首位的排法有A34个，故共有(2A45－A34)个．

[点评]　可用直接法求解：个位数字是0时有A45种；个位数字是5时，首位应用1、2、3、4中选1个，故有4A34种，共有A45＋4A34个．

6．6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为()

A．A66 B．3A33

C．A33A33 D．4！3!

[答案]　D

[解析]　甲、乙、丙三人站在一起有A33种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A44种，共有A33A44种．故选D.

7．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()

A．720 B．144

C．576 D．684

[答案]　C

[解析]　“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A66－A33A44＝576.

[点评]　不能都站在一起，与都不相邻应区分．

8．由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有()

A．56个 B．57个

C．58个 D．60个

[答案]　C

[解析]　首位为3时，有A44个＝24个；

首位为2时，千位为3，则有A12A22＋1＝5个，千位为4或5时有A12A33＝12个；

首位为4时，千位为1或2，有A12A33＝12个，千位为3时，有A12A22＋1＝5个．

由分类加法计数原理知，共有适合题意的数字24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．

9．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有()

A．300个 B．464个

C．600个 D．720个

[答案]　A

[解析]　解法1：确定最高位有A15种不同方法．确定万位、千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A35种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数原理知，共有A15A35＝300(个)．

解法2：由于个位数字大于十位数字与十位数字小于个位数字的应各占一半，故有12A15A55＝300(个)．

10．(2010广东理，8)为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()

A．1205秒 B．1200秒

C．1195秒 D．1190秒

[答案]　C

[解析]　由题意每次闪烁共5秒，所以不同的闪烁为A55＝120秒，而间隔为119次，所以需要的时间至少是5A55＋(A55－1)5＝1195秒．

[点评]　本题情景新颖，考查了排列知识在生活中的应用以及运用数学知识解决实际问题的能力、分析解决问题的能力．

二、填空题

11．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．

[答案]　24

[解析]　“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．

有A34＝24种不同坐法．

12．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．

[答案]　448

[解析]　千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2,0)，(3,1)…(9,7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字．其余两位无任何限制．

共有8A28＝448个．

13．7个人排一排，甲不在排头、乙不在排尾、丙不在正中间的排法有________种？

[答案]　456

[解析]　由题意知有A77－3A66＋3A45－A44＝456种．

14．(2010浙江理，17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．

[答案]　264

[解析]　由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，则A44；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如

甲 乙 丙 丁

上午 台阶 身高 立定 肺活量

下午

，下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有2种，甲测“身高”“立定”、“肺活量”中一种，则33＝9，故A44(2＋9)＝264种．

三、解答题

15．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．

(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？

(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？

(以上两个题只列出算式)

[解析]　(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有A25A66种排法．

(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88－A45A44)种．

16．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

(1)甲不站右端，也不站左端；

(2)甲、乙站在两端；

(3)甲不站左端，乙不站右端．

[解析]　(1)解法一：因甲不站左右两端，故第一步先从甲以外的5个人中任选二人站在左右两端，有A25种不同的站法；第二步再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A44种不同的站法，由分步乘法计数原理共有A25A44＝480种不同的站法．

解法二：因甲不站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A14种不同的站法；第二步再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A55种不同的站法，故共有A14A55＝480种不同的站法．

解法三：我们对6个人，不考虑甲站位的要求，做全排列，有A66种不同的站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2A55，于是共有A66－2A55＝480种不同的站法．

(2)解法一：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A22种不同的站法；再让其他4个人在中间4个位置做全排列，有A44种不同的站法，根据分步乘法计数原理，共有A22A44＝48种不同的站法．

解法二：“位置分析法”，首先考虑两端2个位置，由甲、乙去站，有A22种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A22A44＝48种不同的站法．

(3)解法一：“间接法”，甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，而甲在左端且乙在右端的站法有A44种，故共有A66－2A55＋A44＝504种不同的站法．

解法二：“直接法”，以元素甲的位置进行考虑，可分两类：a.甲站右端有A55种不同的站法；b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有A14A14A44种不同的站法，故共有A55＋A14A14A44＝504种不同的站法．

17．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．

[解析]　(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理，45555＝2500(个)．

(2)方法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A14种填法，其余四个位置四个数字共有A44种，

故共有A14A44＝96(个)．

方法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A14种方法，其余四个数字全排有A44种方法，

故共有A14A44＝96(个)．

(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，将0,1,2,3,4按除以3的余数分成3类，按取0和不取0分类：

①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A12，其余任排有A22，故有2A12A22种．

②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A33，所以共有2A12A22＋2A33＝8＋12＝20(个)．

(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有A12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A13种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A33，故共有A12A13A33＝36(个)．

18．由1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 354，…直到末项(第120项)是54 321.问：

(1)43 251是第几项？

(2)第93项是怎样的一个五位数？

[分析]　43 251以前的数都比43 251小，而以后的数都比43 251大，因此比43 251小的个数加1就是43 251的项数．反过来，从总个数中减去比43 251大的数的个数也是43 251的项数．

先算出比第93项大的数的个数，从总个数中减去此数，再从万位数是5的个数，逐步缩小直到第93项数为止，从而可得第93项那个数．

[解析]　(1)由题意知，共有五位数为A55＝120(个)．

比43 251大的数有下列几类：

①万位数是5的有A44＝24(个)；

②万位数是4，千位数是5的有A33＝6(个)；

③万位数是4，千位数是3，百位数是5的有A22＝2(个)，

比43 251大的数共有A44＋A33＋A22＝32(个)，

43 251是第120－32＝88(项)．

(2)从(1)知万位数是5的有A44＝24(个)，万位数是4，千位数是5的有A33＝6(个)．

但比第93项大的数有120－93＝27(个)，第93项即倒数第28项，而万位数是4，千位数是5的6个数是45 321、45 312、45 231、45 213、45 132、45 123，由此可见第93项是45 213.