选修2-3 1.1第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、选择题

1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()

A．182　 B．14 　

C．48　 D．91

[答案]　C

[解析]　由分步乘法计数原理得不同取法的种数为68＝48，故选C.

2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为()

A．13种 B．16种

C．24种 D．48种

[答案]　A

[解析]　应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A.

3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是()

A．24 B．81

C．6 D．64

[答案]　D

[解析]　由分步乘法计数原理得43＝64，故选D.

4．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法()

A．720种 B．7776种

C．360种 D．3888种

[答案]　B

[解析]　每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种．

5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()

A．8种 B．9种

C．10种 D．11种

[答案]　B

[解析]　设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3311＝9(种)不同的安排方法．

6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为()

A．2 000 B．4 096

C．5 904 D．8 320

[答案]　C

[解析]　可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8888＝4 096个，所以符合题意的共有5 904个．

7．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()

A．26 B．24

C．20 D．19

[答案]　D

[解析]　因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：1253,1264,1267,1286，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D.

8．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()

A．42 B．30

C．20 D．12

[答案]　A

[解析]　将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共67＝42(种)．

9．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|xA，yB}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为()

A．34 B．43

C．12 D．24

[答案]　C

[解析]　显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有34＝12个元素．故选C.

10．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有()

A．16种 B．15种

C．14种 D．13种

[答案]　C

[解析]　解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．

试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；②消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；③消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；④消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．

二、填空题

11．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答)．

[答案]　24

[解析]　可以分三类情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个．

12．三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个．

[答案]　36

[解析]　另两边长用x，y表示，且不妨设1y11.要构成三角形，需x＋y12.当y＝11时，x{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x{2,3，…，10}，有9个三角形……当y＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)．

13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛 ，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)

[答案]　48

[解析]　本题可分为两类完成：两老一新时，有322＝12(种)排法；两新一老时，有2332＝36(种)排法，即共有48种排法．

14．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有______种．

[答案]　16

[解析]　五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．

三、解答题

15．有不同的红球8个，不同的白球7个．

(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？

(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？

[解析]　(1)由分类加法计数原理得

从中任取一个球共有8＋7＝15种；

(2)由分步乘法计数原理得

从中任取两个球共有87＝56种．

16．若x，yN*，且x＋y6，试求有序自然数对(x，y)的个数．

[分析]　由题目可获取以下主要信息：

(1)由x，yN*且x＋y6，知x，y的取值均不超过6；

(2)(x，y)是有序数对．

解答本题可按x(或y)的取值分类解决．

[解析]　按x的取值时行分类：

x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对；

x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；

…

x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．

根据分类计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．

[点评]　本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x，y的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y的取值进行分类解决．计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类．

17．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

[解析]　将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．

字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：

第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；

第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；

第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；

第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；

第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；

第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法．

根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有2625241098＝11 232 000(个)．

同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个．

所以，共能给11 232 000＋11 232 000＝22 464 000辆汽车上牌照．

18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数．

(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？

(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？

[解析]　(1)因为集合A中的元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成AB的映射有N＝24＝16个．

(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．

所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．