例1、已知：⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、5，且两两相切，
求AB、BC、CA的长
解：分类讨论：
(1)当⊙A与⊙B外切时，分4种情况：
①如图1，AB=5，BC=8，CA=7;
②如图2，AB=5，BC=2，CA=3;
③如图3，AB=5，BC=8，CA=3;
④如图4，AB=5，BC=2，CA=7;
(2)当⊙A与⊙B内切时，分2种情况：
①如图5，AB=1，BC=2，CA=3;
②如图6，AB=1，BC=8，CA=7.
说明：此题需要两次分类，但关键是以什么为标准进行分类，才能不重不漏.
例2、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。求OlAB的度数.
分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由OlAO2=60，推得OlAB=30.
解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆
OlA= O1O2= AO2
O1AO2=60，
又ABO1O2
OlAB =30.
例3、已知R1、R2为两圆半径，圆心距d=5，且R1，R2，R1-R2是方程x3-6x2+11x-6=0的三个根，试判断以R1，R2为半径的两圆的位置关系。
分析：通过解方程，把R1，R2，R1-R2都求出来以后，根据两圆位置关系的判定方法，即可作出结论。
解：将方程x3-6x2+11x-6=0变形得：
(x-1)(x-2)(x-3)=0
解得：x1=1，x2=2，x3=3
∵R1，R2，R1-R2是方程的根
(1)当R1=3，R2=2，R1-R2=1时，两圆外切。
(2)当R1=3，R2=1，R1-R2=2时，两圆外离。
故由(1)(2)可得：两圆的位置关系是外切或外离。
例4、已知：如图，⊙O1和⊙O2外切于P，直线APC交⊙O1于点A，交⊙O2于C，AB切⊙O2于B，设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2。求证：
分析：因为AB为⊙O2的切线，故AB2=APAC，欲证，只须证，连结O1O2，可知点P在O1O2上，通过△O1AP∽△O2CP即可获证。
证明：连结AO1，O2C，O1O2
∵⊙O1与⊙O2外切于点P，P点在连心线O1O2上。
∵O1A=O1P，O2C=O2P
O1AP=O1PA，O2CP=O2PC
又O1PA=O2PC
O1AP=O2CP
△O1AP∽△O2CP
==
∵AB切⊙O2于B点，AB2=APAC
===1+=1+
例5、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PT切⊙O1于A，交⊙O1于P，PB的延长线交⊙O1于C，CA的延长线交⊙O2于D，E是⊙O1上一点，且AE=AC，EB的延长线交⊙O2于F，连结AF、DF、FD。
求证：(1) △PAD为等腰三角形;(2) DF∥PA;(3) AF2=PBEF
分析：(1)要证△PAD为等腰三角形，可连结AB，利用公共弦将两圆中的角有机地联系起来，不难得到DAP=TAC=ABC=PDA
(2)要证DF∥PA，可设法证明FDP=DPA，易知EDP=EBP=EBC=EAC，连结EC，证明△ADP∽△EAC即可。
(3)由切割线定理可得PA2=PBPC，可设法证明AF=AP，EF=PC，即可获证。
证明：连结AB、EC
(1) ∵AT切⊙O1于A，
TAC=ABC(弦切角定理)
又ABC=PDA(圆内接四边形的性质定理)
TAC=PDA
∵TAC=PAD(对顶角)
PDA=PAD
PD=PA
△PDA为等腰三角形。
(2) ∵AE=AC
△AEC为等腰三角形
又△PDA为等腰三角形，且AEC=ABC，ABC=PDA
AEC=PDA
△AEC∽△PDA(相似三角形判定定理1)
EAC=DPA
又EAC=EBC=FBP=FDP EFP=DPA DF∥PA
(3) ∵AE=AC AEF=ACP APC=AFE
△APC∽△AFE
AF=AP，EF=PC又PA2=PBPC(切割线定理)
AF2=PBEF
例6、如图⊙O1和⊙O2相交于A、B，过A作直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，M是CD中点，直线BM交⊙O1于E，交⊙O2于F。求证：ME=MF。
分析：要证ME=MF，结合已知MC=MD，若连结CE、DF，只需证△CME∽△DMF，连结公共弦AB，以两圆的公共圆周角ABE为桥梁，可证得D。
证法一：连结CE、DF、AB，
∵ABE，ABE，
D
又∵CM=DM，CMF=DMF
△CME∽△DMF
ME=MF
分析二：考虑到ME是⊙O1中相交两弦CA、EB被交点分成的一段，MF是M向⊙O2所引割线，因此可用圆幂定理来证明。
证法二：在⊙O1中，
∵弦CA、EB相交于点M
EMMB=CMMA
在⊙O2中，∵MAD、MFB是⊙O2的两割线
MFMB=MAMD
∵MC=MD
MEMB=MFMB
ME=MF
例7、已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?
解：设大圆半径R=5x
∵两圆半径之比为5: 3，小圆半径r=3x，
∵两圆内切时圆心距等于6，5x-3x=6，x=3，
大圆半径R=15，小圆半径r=9，
当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，此时两圆外切;
当两圆圆心距d2=5时，有d2
当两圆圆心距d3=20时,有R-r
当两圆圆心距d4=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆.
说明：注重两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力和数形结合能力.
例8、(武汉市，2002)已知：如图，⊙O和⊙O1内切于A，直线OO1交⊙O于另一点B，交⊙O1于另一点F，过B点作⊙O1的切线，切点为D，交⊙O于C点，DEAB垂足为E.求证：
(1)CD=DE;
(2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?请证明你的结论.
证明：(1)连结DF、AD，
∵AF为⊙O1的直径，FDAD，又DEAB，
DFE=EDA，
∵BC为⊙O1的切线，CDA=DFE，
CDA=EDA，
连结AC，∵AB为⊙O的直径，
ACBC，又AD公共，
Rt△EDA≌Rt△CDA，
CD=DE.
(2)当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立.证法同(1).
说明：①此题应用如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上、双垂直、弦切角、全等三角形等知识;②第(2)问是开放性问题.
例9、已知两相交圆的半径分别为8cm和5cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距.
解：分两种情况：
(1)如图1，设⊙O1的半径为r1=8cm，⊙O2的半径为r2=5cm.
圆心Ol，02在公共弦的异侧.
∵O1O2垂直平分AB，AD=AB=3cm.
连O1A、O2A，则,
.
(cm).
(2) 如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求
02D=4cm，01D=(cm).(cm).
说明：本题要求我们自己作图计算，究竟两圆的圆心在公共弦的同侧，还是异例题设中没有交待，需要我们自己去研究.因此，凡做到没有图形的几何题时，要特别当心，有可能有几种位置形状的图形.
【巩固练习】
（一）填空
1.已知⊙O1与⊙O2交于A，B两点，连结O1O2交⊙O1于C.若ACB=120，AC=6cm，则AB的长是________.
2.已知⊙O1与⊙O2交于A，B两点，若⊙O1的半径为5，AB=6，O1O2=7，则BO2A=______度.
3.若三个圆两两外切，圆心距分别是6，8，10，则这三个圆的半径分别是______.
4.设⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，且O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，则AO1B=______度.
5.已知两等圆外切，并且都与一个大圆内切.若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm.则大圆的半径是________cm.
6.如果两个圆的一个公共点关于连心线有对称点(对称点不是公共点本身)，那么这两圆的位置关系是______.
7.如果两个圆有一个公共点在连心线上，则这两个圆的位置关系是______.
8.已知⊙O1与⊙O2是等圆，相交于A，B两点.若AO1B=60，O1A=1cm，则O1O2的长是______.
9.若两个圆有且只有一个公共点，则这个公共点一定在______直线上.
10.已知两圆相交于A、B两点，连心线交AB于E，若AE=cm，则AB=______cm.
11.相切两圆的______，经过切点.
12.相交两圆的连心线______两圆的公共弦.