初三数学同步练习：初三数学一元二次方程测试题
一、选择题
1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. B. C. D.
2.某市2011年平均房价为每平方米12000元.连续两年增长后，2013年平均房价达到每平方米15500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A.15500(1+x)2=12000 B.15500(1﹣x)2=12000
C.12000(1﹣x)2=15500 D.12000(1+x)2=15500
3.用因式分解法解一元二次方程，正确的步骤是()
A. B.
C. D.
4.已知1是关于的一元二次方程的一个根，则m的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.无法确定
5.若关于的一元二次方程有实数根，则( )
A. B. C. D.
6.已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的范围是( )
A.k B.k
C.k0 D.k0
7.一元二次方程的解是 ( )
A. B. C. D.
8.用配方法解方程,配方正确的是( )
A. B. C. D.
9.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为 ( ).
A.48(1﹣x)2=36 B.48(1+x)2=36 C.36(1﹣x)2=48 D.36(1+x)2=48
10.若关于的一元二次方程的两根分别为，，则p、q的值分别是( )
A.3、2 B.3、2 C.2、3 D.2、3
11.关于x的一元二次方程(其中a为常数)的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.可能有实数根，也可能没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
12.目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
13.若一元二次方程x2+x-2=0的解为x1、x2，则x1x2的值是( )
A.1 B.1 C.2 D.2
14.用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A. B. C. D.
15.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是( )
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
16.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍(0
A. B. C. D.
17.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米，则可列方程为
A. B.
C. D.
18.一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是【 】
A.B.C.D.
19.一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是【 】
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
20.如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是
A.5.5 B.5 C.4.5 D.4
二、填空题
21.将一元二次方程化成一般形式为 .
22.若是一元二次方程的两个根，则的值是 ;的值是 .
23.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则= .
24.若关于的方程有一根为3，则=___________.
25.某种型号的电脑，原售价6000元/台，经连续两次降价后，现售价为4860元/台，设平均每次降价的百分率为，则根据题意可列出方程： .
26.方程的解是 ____ ____ .
27.已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，则的值是________.
28.若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是 .
29.已知与的半径分别是方程的两根,且,
若这两个圆相切,则t= .
30.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 .
31.对于实数a，b，定义运算﹡：.例如4﹡2，因为42，所以4﹡2=42﹣42=8.若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= .
32.如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形一边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2.若设道路宽为m，则根据题意可列方程为 __ .
33.若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根，则k的非负整数值是 .
34.已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 .
35.(2013年四川自贡4分)已知关于x的方程，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1②x1x2
三、计算题
36.( 本题满分8分)
求证：不论k为任何实数，关于的方程都有两个不相等的实数根。
37.解方程：
(1)(2x+3)2-25=0 (2)x2+3x+1=0.
38.解方程：
39.解方程：
40.先化简再求值：，其中x是方程的根.
41.解方程：(x+3)2﹣x(x+3)=0.
42.1) (2)
43.给出三个多项式：① ; ②; ③.请你把其中任意两个多项式进行加法运算(写出所有可能的结果)，并把每个结果因式分解.
四、解答题
44.已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个解与方程解相同.
(1)求k的值;(2)求方程x2+kx-2=0的另一个根.
45.已知是方程的一个根，求的值.
46.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)在(1)的条件下，化简：.
47.已知关于的方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)求证：不可能是此方程的实数根.
48.已知关于x的一元二次方程的一个根为2.
(1)求m的值及另一根;
(2)若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长.
49.已知：关于的一元二次方程.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设上述方程的两个实数根分别为x1、x2，求：当取哪些整数时，x1、x2均为整数;
(3)设上述方程的两个实数根分别为x1、x2，若，求k的值.
50.某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：
(1)每千克樱桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售?
参考答案
1.A.
【解析】
试题分析：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
所以选A.
考点：1.一元二次方程一般形式下的二次项系数2. 一元二次方程一般形式下的一次项系数3. 一元二次方程一般形式下的常数项.
2.D
【解析】2012年平均房价为12000(1+x)元，2013年平均房价为12000(1+x)(1+x)元，而2013年的平均房价是15500元，由此可列方程12000(1+x)2=15500.
试题分析：增长率问题中的关系为：现在量=原来量(1+增长率)，根据题意，2012年平均房价为12000(1+x)元，2013年平均房价为12000(1+x)(1+x)元，而2013年的平均房价是15500元，由此可列方程12000(1+x)2=15500.
考点：增长率问题.
3.D
【解析】根据题意，可将方程化为x(x-1)+2(x-1)=0，提公因式(x-1),有(x-1)(x+2)=0.
试题分析：因式分解的一般步骤是：第一，看能不能用提公因式法;第二，公式法，平方差公式和完全平方公式;第三步，对于二次三项式，看能不能用十字相乘法.
考点：因式分解.
4.C
【解析】由题，将x=1代入一元二次方程，有m-1+1+1=0，m=-1.
试题分析：根是使方程两边相等的未知数的值，已知具体的一个根，可以将其代入方程，从而得到等式.
考点：一元二次方程的根.
5.D
【解析】由题，△=b2-4ac=﹣12k0，k0.
试题分析：一元二次方程有实数根等价于根的判别式大于等于零，由题，△= b2-4ac=﹣12k0，k0.
考点：一元二次方程有实数根的条件.
6.D.
【解析】
试题分析：根据一元二次方程有两个不相等的实数根，知△=b2-4ac0，然后据此列出关于k的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求解：
∵有两个不相等的实数根，
△=1-4k0，且k0，解得，k0.
故选D.
考点：1.一元二次方程根的判别式;2.一元二次方程的定义;3.分类思想的应用.
7.B.
【解析】
试题分析：将分别代入方程，知使方程成立，使方程不成立，所以方程的解为. 故选B.
考点：方程的解.
8.A.
【解析】
试题分析：把方程,变形为 把方程两边加上一次项系数一半的平方,得,整理,得 .故选A.
考点：配方法解一元二次方程.
9.D
【解析】
试题分析：一元二次方程应用中的增长率问题, 一月份的营业额为36万元, 二月份的营业额为万元, 三月份的营业额为万元,即.
考点：一元二次方程的应用.
10.A
【解析】
试题分析：由一元二次方程根与系数的关系：，，可得，，所以，.
考点：一元二次方程根与系数的关系
11.A
【解析】
试题分析：先判断出根的判别式，从而可得此方程有两个不相等的实数根.
考点：一元二次方程根的判别式
12.B.
【解析】
试题分析：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x，去年上半年发放给每个经济困难学生389元，
去年下半年发放给每个经济困难学生389 (1+x) 元，
则今年上半年发放给每个经济困难学生389 (1+x) (1+x) =389(1+x)2元.
据此，由题设今年上半年发放了438元，列出方程：389(1+x)2=438.
故选B.
考点：由实际问题列方程(增长率问题).
13.D.
【解析】
试题分析：∵一元二次方程x2+x-2=0的解为x1、x2，. 故选D.
考点：一元二次方根与系数的关系.
14.A.
【解析】
试题分析：用配方法解方程的步骤为：第一步：移项，使右边是数，左边都含未知数;第二步：两边同除以二次项系数，使二次项系数变成1;第三步; 配方; 两边配上一次项系数一半的平方;第四步; 开平方.因此，
.
故选A.
考点：配方法.
15.C
【解析】
试题分析：设参赛球队的个数是x个，则每个队应比(x1)场，根据题意列方程得：
，解得：=7;=6(舍去);故参赛球队的个数是7.
考点：一元二次方程的应用.
16.C.
【解析】
试题分析：分别得到每次钉入木板的钉子的长度，等量关系为：第一次钉入的长度+第二次钉入的长度+第三次钉入的长度=1，把相关数值代入即可求解：
∵第一次受击进入木板部分的铁钉长度是钉长的，铁钉的长度为1，
第一次受击进入木板部分的铁钉长度是;
∵每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍，
第二次受击进入木板部分的铁钉长度是k，第三次受击进入木板部分的铁钉长度是k2.
可列方程为：.
故选C.
考点：由实际问题抽象出一元二次方程(增长率问题).
17.C
【解析】
试题分析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程：。故选C。
18.D。
【解析】将两边开平方，得，则则另一个一元一次方程是。故选D。
19.A。
【解析】∵△=12-41(-2)=90，方程有两个不相等的实数根。故选A。
20.A。
【考点】因式分解法解一元二次方程，三角形中位线定理，三角形三边关系
【解析】
试题分析：解方程x2﹣8x+15=0得：x1=3，x2=5，
根据三角形三边关系，第三边c的范围是：2
三角形的周长l的范围是：10
根据三角形中位线定理，连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m的范围是：5
满足条件的只有A。
故选A。
21..
【解析】
试题分析：.
考点：一元二次方程的表示形式.
22.x1+x2=3;x1x2=-1.
【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系是: x1+x2=,x1x2=.根据题意，x1+x2==3，x1x2==-1.
试题分析：一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系是: x1+x2=,x1x2=.根据题意，代入求解即可.
也可以用公式法将一元二次方程的根求出来，x1=，x2=，代入求解即可.
考点：一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系(x1+x2=,x1x2=).
23.
【解析】由题, ,,.
试题分析：一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数关系: ，,由题, ,,.
考点：一元二次方程根与系数关系.
24.
【解析】
试题分析：方法一：把代入方程得;方法二：由根与系数的关系:两根之和，得 ,解得，又有两根之积，得
考点：一元二次方程根与系数的关系.
25.
【解析】
试题分析：根据降价后的价格=降价前的价格(1平均每次降价的百分率)，可列出方程为.
考点：一元二次方程的实际应用
26.，
【解析】
试题分析：先移项，再提取公因式x，然后根据两个式子的积为0，至少有一个为0求解.
，，，，.
考点：解一元二次方程
27.2或7
【解析】
试题分析：分两种情况：(1)a=b，则=2;(2)ab，把a、b看成是方程的两个根，则a+b=6，ab=4，而.
考点：1、一元二次方程根与系数的关系;2、异分母分式的加减法;3、和的完全平方公式.
28.且.
【解析】
试题分析：∵，.
一元二次方程为.
∵一元二次方程有实数根，
且.
考点：1.绝对值和算术平方根的非负数性质;2.一元二次方程根与系数的关系;3.分类思想的应用.
29.2或0。
【解析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解：
∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3。
①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2;
②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3-1=2，解得t=0。
t为2或0。
30.x2-5x+6=0(答案不唯一)
【解析】
试题分析：已知直角三角形的面积为3，则两直角边长可以分别是2，3;1，6;只要二者的积等于6即可。
当直角边长分别为2、3时，根据一元二次方程根与系数的关系得一元二次方程x2-5x+6=0;
当直角边长分别为1、6时，根据一元二次方程根与系数的关系得一元二次方程x2-7x+6=0;
(答案不唯一)。
31.3或﹣3
【解析】
试题分析：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，
(x﹣3)(x﹣2)=0，解得：x=3或2。
①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=32﹣32=﹣3。
32.(22-x)(17-x)=300或者2217-22x-17x+x2=300.
【解析】方法一：矩形的总面积是2217 m2，横道路面积是22x m2，竖道路面积是17x m2，横竖道路重合面积x2 m2，由题草坪面积是300m2，可列方程2217-22x-17x+x2=300;
方法二：将两条道路分别移到一角，可得草坪的长是(22-x)m，宽是(17-x)m，由题草坪面积是300m2，可列方程(22-x)(17-x)=300.
试题分析：通常的想法是用总的面积减去道路的面积，剩下的是草坪的面积，矩形的面积是2217 m2，道路的面积有一部分重合，重合部分的面积是x2 m2，横道路面积是22x m2，竖道路面积是17x m2，而草坪面积是300m2，可列方程2217-22x-17x+x2=300;也可以将两条道路分别移到一角，此时草坪是一个矩形，可得草坪的长是(22-x)m，宽是(17-x)m，由题草坪面积是300m2，可列方程(22-x)(17-x)=300.
考点：一元二次方程的实际应用.
33.1。
【解析】根据题意得：△=16﹣12k0，且k0，
解得：k，且k0。
则k的非负整数值为1。
34.3
【解析】
试题分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得﹣2x1=﹣6，所以x1=3。
35.①②。
【解析】①∵方程中，△=(a+b)2﹣4(ab﹣2)=(a﹣b)2+40，
x1x2。故①正确。
②∵x1x2=ab﹣1
③∵x1+x2=a+b，即(x1+x2)2=(a+b)2。
x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(a+b)2﹣2ab+2=a2+b2+2a2+b2，即x12+x22a2+b2。故③错误。;
综上所述，正确的结论序号是：①②。
考点：一元二次方程根与系数的关系和根的判别式。
36.0方程有两个不相等的实数根
【解析】
试题分析：证明：
方程总有两个不等的实数根。
37.
【解析】
试题分析：(1)解：(2x+3)2=25，
2x+3=5，
2x=5-3，
x1=1，x2=-4.
(2)解：∵a=1，b=3，c=1
b2-4ac=32-411=50
38.
【解析】
试题分析：)解：
39.-1，
【解析】
试题分析：解：∵x2+2x-5=0x==-1.
40.原式，当时，原式
【解析】
试题分析：原式
由，得(舍去)
41.x=﹣3
【解析】
试题分析：方程左边提取公因式变形后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
解：(x+3)2﹣x(x+3)=0，
分解因式得：(x+3)(x+3﹣x)=0，
42.⑴2或-6 ⑵
【解析】
试题分析：⑴;x+2=4.解得x=2或-6
43.①+②：;
①+③：;
②+③：
【解析】
试题分析：①+②：;
44.(1)-1;(2)-1.
【解析】
试题分析：(1)由题,可以先把的解求出来,x=2,然后代入一元二次方程, 4+2k-2=0，求得k的值-1;(2)方法一:由(1)知k=-1,代入一元二次方程,有x2-x-2=0,求解得x1=2,x2=-1;方法二:方程一元二次方程根与系数关系，，一个根是2, =-2,所以另外一个根为-1.
试题解析：(1)方程两边同乘以x-1得，
x+1=3(x-1)，
x=2，
经检验是原方程的解，所以x=2,
把x=2代入方程x2+kx-2=0，
得4+2k-2=0，
所以k=-1.
(2)方法一:由(1)知k=-1,代入一元二次方程,
有x2-x-2=0,
(x+1)(x-2)=0,
求解得x1=2,x2=-1.
方法二:方程一元二次方程根与系数关系，，一个根是2, =-2,所以另外一个根为-1.
考点：一元二次方程根与系数关系.
45.
【解析】
试题分析：一般的思路是将a代入方程x2-x-1=0，得到a2-a-1=0，然后解出a，再代入所求的式子中，但是这种方法对于此题太过繁琐，因为a是无理数，可以考虑整体代换，由题目条件，a是方程x2-x-1=0的一个根，根据根的定义，将其代入方程，有a2-a-1=0,而要求的式子中含有代数式a2-a,将a2-a看成一个整体，则a2-a=1代入要求的式子中，计算得到结果.
试题解析：方法一：∵a是方程x2-x-1=0的一个根，
将a代入方程，有a2-a-1=0，
用求根公式解之，得到，，
当时，，
当时，，
.
方法二：(整体代换)∵a是方程x2-x-1=0的一个根，
将a代入方程，有a2-a-1=0，即a2-a=1，
将a2-a=1代入，有.
考点：1.求解一元二次方程;2.整体代换思想.
46.(1)m(2) 7-2m.
【解析】
试题分析：(1)一元二次方程有两个不相等的实数根等价于根的判别式大于等于零，由题，△= b2-4ac=(﹣2)2﹣4m0，12-4m0，m3.(2)去绝对值和去根号是一个难点，要理解掌握绝对值和去根号的知识方法，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，去绝对值之前要判断这个数的正负，去根号有公式，从而转化成去绝对值的问题.
试题解析：(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,
△= b2-4ac=(﹣2)2﹣4m0，12-4m0，m3.
(2) ∵m3,
m-30,4-m0,
.
考点：1. 一元二次方程根的情况和判别式之间的关系;2. 绝对值的化简;3.根式的化简.
47.(1)，(2)见解析.
【解析】
试题分析：(1)一元二次方程有两个不相等的实数根，一元二次方程根判别式， ，即=解得，(2)把代入一元二次方程的左边，左边=，通过配方得到左边=，而右边=0, 左边右边，从而得证
试题解析：(1)∵关于的方程有两个不相等的实数根,
. .
(2)∵当时，左边=
.
而右边=0,左边右边.
不可能是此方程的实数根.
考点：1.一元二次方程根判别式，2.一元二次方程的根.
48.(1)，方程另一根为3.(2)等腰三角形的周长为8或2.
【解析】
试题分析：(1)把一个根2代入一元二次方程得到关于m的方程，解得，再把代入得一元二次方程为，解方程可得另一根.
(2)当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，满足三角形的三边关系，此时三角形的周长为2+3+3=8;当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，也满足三角形的三边关系，此时三角形的周长为2+2+3=7.
试题解析：(1)∵关于x的一元二次方程的一个根为2，
.
.
一元二次方程为.
解得.
，方程另一根为3.
(2)当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时三角形的周长为2+3+3=8;当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，此时三角形的周长为2+2+3=7.
考点：1.一元二次方程的根 2.等腰三角形定义 3.三角形的三边关系.
49.(1)k(2)k=1或者k=(3) .
【解析】
试题分析：(1)一元二次方程存在的条件是二次项系数不为零，根据题意，kx2+2x+2-k=0是关于x的一元二次方程，所以k(2)根据求根公式，可以将方程的解求出来，，，，要使得方程的根为整数，只要要求是整数即可，进而只要要求为整数，k是2的因数，所以k=1或者k=(3)方法一：由(2)可以得到 ，，所以，分类讨论，①当时，此方程无解;②当时，解得;方法二：可以根据根与系数关系，进行求解，具体详见解析.
试题解析：(1) ∵方程是关于x的一元二次方程,
实数k的取值范围是k0.
(2)△= b2-4ac=4-4k(2-k)=k2-2k+1=(k-1)2 ,
由求根公式，得,
，,
∵要求两个实数根x1、x2是整数，
为整数，即是整数，
k是2的因数， k=1或者k=2.
(3)方法一：由(2)可以得到 ，，
，分类讨论:
①当时，此方程无解;
②当时，解得;
方法二：根据题意，,两边平方，有,
整理得，
由根与系数的关系，，
，
整理，得8k-4=0，k=.
考点：1.一元二次方程的求解和根与系数关系;2.绝对值的化简.
50.(1) 每千克核桃应降价4元或6元;(2) 该店应按原售价的九折出售.
【解析】
试题分析：(1) 根据题意，设每千克核桃应降价x元，进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，降价后售价是(60-x)元，每千克的利润为(60-40-x)元，销售量为(100+10x)千克，等量关系是每千克利润销售量=平均每天利润2240元，列方程(60-40-x)(100+10x)=2240，解方程x=4或者x=6;(2)由(1)知应降价4元或6元，∵要尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价6元, 此时，售价为：60﹣6=54(元)，，打九折.
试题解析：(1) 根据题意，设每千克核桃应降价x元，则降价后售价是(60-x)元，每千克的利润为(60-40-x)元，销售量为(100+10x)千克，等量关系是每千克利润销售量=平均每天利润2240元，由此可列方程：
(60-40-x)(100+10x)=2240,
2000+200x-100x-10x=2240,
x2﹣10x+24=0,
x=4或者x=6，
答：每千克核桃应降价4元或6元.
(2) 由(1)知应降价4元或6元，
∵要尽可能让利于顾客，
每千克核桃应降价6元,
此时，售价为：60﹣6=54(元)，，打九折.
答：该店应按原售价的九折出售.
考点：1.一元二次方程的实际应用﹣销售问题.