(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛 物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;
(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物 线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
分析(1)已知抛物线的顶点,可先将抛物线的解析式设为顶点式,再将点C的坐标代入上面的解析式中,即可确定待定系数的值,由此得解.
(2)可先求出A、C、D三点坐标,求出△ACD的三边长后,可判断出该三角形的形状 ,进而得到该三角形的面积.(也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差)
(3)由于直线EF与y轴平行,那么OCB=FED,若△OBC和△EFD相似,则△EFD中,EDF和EFD中必有一角是直角,可据此求出点F的横坐标,再代入直线BC的解析式中,即可求出点E的坐标.
解答解:(1)依题意,设抛物线的解析式为 y=a(x﹣2)2﹣1,代入C(O,3)后,得:
a(0﹣2)2﹣1=3,a=1
抛物线的解析式:y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣ 4x+3.
(2)由(1)知,A(1,0)、B(3,0);
设直线BC的解析式为:y=kx+3,代入点B的坐标后,得:
3k+3=0,k=﹣1
直线BC:y=﹣x+3;
由(1) 知:抛物线的对称轴:x=2,则 D(2,1);
AD2=2,AC2=10,CD2=8
即:A C2=AD2+CD2,△ACD是直角三角形,且AD
S△ACD= ADCD= 2 =2 .
(3)由题意知:EF∥y轴,则FED=OCB,若△OCB与△FED相似,则有:
①DFE=90,即 DF∥x轴;
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中,得:
x 2﹣4x+3=1,解得 x=2
当x=2+ 时,y=﹣x+3=1﹣ ;
当x=2﹣ 时,y=﹣x+3=1+ ;
E1(2+ ,1﹣ )、E2(2﹣ ,1+ ).
②EDF=90
易知,直线AD:y =x﹣1,联立抛物线的解析式有:
x 2﹣4x+3=x﹣1,解得 x1=1、x2=4;
当x=1时,y=﹣x+3=2;
当x=4时,y=﹣x+3=﹣1;
E3(1,2)、E4(4,﹣1);