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2013年中考数学试题圆考点归类
一、选择题
1. (天津3分)已知⊙ 与⊙ 的半径分别为3 cm和4 cm，若 =7 cm，则⊙ 与⊙ 的位置关系是
(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切
【答案】D。
【考点】圆与圆位置关系的判定。
【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距 =7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。
2.(内蒙古包头3分)已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是
A、相交 B、外切 C、外离 D、内含
【答案】B。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，两圆的半径分别是1厘米与2厘米。
∵圆心距是1+2=3厘米，这两个圆的位置关系是外切。故选B。
3,(内蒙古包头3分)已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，APC的平分线交AC于点D，则CDP等于
A、30 B、60 C、45 D、50
【答案】
【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。
【分析】连接OC，
∵OC=OA，，PD平分APC，
CPD=DPA，CAP=ACO。
∵PC为⊙O的切线，OCPC。
∵CPD+DPA+CAP +ACO=90，DPA+CAP =45，即CDP=45。故选C。
4.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。
【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF。
根据直径所对圆周角是直角的性质，得FDB=90
根据圆的轴对称性和DC∥AB，得四边形FBCD是等腰梯形。
DF=CB=1，BF=2+2=4。BD= 。故选B。
5.(内蒙古呼伦贝尔3分)⊙O1的半径是 ，⊙2的半径是 ，圆心距是 ，则两圆的位置关系为
A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切
【答案】A。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。由于5-25+2，所以两圆相交。故选A。
6.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为.
A. 5 B. 4 C. .3 D. 2
【答案】C。
【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。
【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图，过点O作OMAB于M，连接OA。
根据弦径定理，得AM=BM=4，在Rt△AOM中，由AM=4， OA=5，根据勾股定理得OM=3，即线段OM长的最小值为3。故选C。
7.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上 ，BOD=110，AC∥OD，则AOC的度数
A. 70 B. 60 C. 50 D. 40
【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角定义，平行的性质。
【分析】由AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，知OA=OC，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得AOC=1800-2OAC。
由AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等的性质，得OAC=AOD。
由AB是⊙O的直径，BOD=110，根据平角的定义，得AOD=1800-BOD=70。
AOC=1800-270=400。故选D。
8.(内蒙古乌兰察布3分)如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB CD ，如果BOC = 70 ，那么A的度数为
A 70 B. 35 C. 30 D . 20
【答案】B。
【考点】弦径定理，圆周角定理。
【分析】如图，连接OD，AC。由BOC = 70 ，
根据弦径定理，得DOC = 140 ;
根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得DAC = 70 。
从而再根据弦径定理，得A的度数为35 。故选B。
17.填空题
1.(天津3分)如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦.且CAD=30.OBAD，交AC于点B.若OB=5，则BC的长等于 ▲ 。
【答案】5。
【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。
【分析】∵在Rt△ABO中， ，
AD=2AO= 。
连接CD，则ACD=90。
∵在Rt△ADC中， ，
BC=AC-AB=15-10=5。
2.(河北省3分)如图，点0为优弧 所在圆的圆心，AOC=108，点D在AB延长线上，BD=BC，则D= ▲ .
【答案】27。
【考点】圆周角定理，三角形的外角定理，等腰三角形的性质。
【分析】∵AOC=108，ABC=54。∵BD=BC，BCD= ABC=27。
3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ▲ .
【答案】4。
【考点】切线的性质，勾股定理。
【分析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OCPC。设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC= x，OP=1+x，根据地勾股定理，得OP2=OC2+PC2，即(1+x)2= x 2+32，解得x=4。即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC2=PAPB求得PA=9，再由AB=PA-PB求出直径，从而求得半径】
4.(内蒙古呼伦贝尔3分)已知扇形的面积为12 ，半径是6，则它的圆心角是 ▲ 。
【答案】1200。
【考点】扇形面积公式。
【分析】设圆心角为n，根据扇形面积公式，得 ，解得n=1200。
18.解答题
1.(天津8分)已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB.OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I) 如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号);
(Ⅱ)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形.求 的值.
【答案】解：(I) 如图①，连接OC，则OC=4。
∵AB与⊙O相切于点C，OCAB。
在△OAB中，由OA=OB，AB=10得 。
在△RtOAB中， 。
(Ⅱ)如图②，连接OC，则OC=OD。
∵四边形ODCE为菱形，OD=DC。
△ODC为等边三角形。AOC=600。
A=300。 。
【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，300角直角三角形的性质。
【分析】(I) 要求OA的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC，由AB与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形，从而得300角的直角三角形OAC，根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.(河北省10分)如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点.
思考
如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设MOP=.
当= ▲ 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 ▲ .
探究一
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角BMO= ▲ 度，此时点N到CD的距离是 ▲ .
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转.
(1)如图3，当=60时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值;
(2)如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的取值范围.
(参考数椐：sin49= ，cos41= ，tan37= .)
【答案】解：思考：90，2。
探究一：30，2。
探究二(1)当PMAB时，点P到AB的最大距离是MP=OM=4，
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。
当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，
此时旋转角最大，BMO的最大值为90。
(2)如图4，由探究一可知，
点P是弧MP与CD的切线时，大到最大，即OPCD，
此时延长PO交AB于点H，
最大值为OMH+OHM=30+90=120，
如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MPCD，达到最小，
连接MP，作HOMP于点H，由垂径定理，得出MH=3。
在Rt△MOH中，MO=4，sinMOH= 。MOH=49。
∵=2MOH，最小为98。
的取值范围为：98120。
【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离，平行线之间的距离，切线的性质，旋转的性质，解直角三角形。
【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当=90度时，点P到CD的距离最小，
∵MN=8，OP=4，点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2。
探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，
∵MN=8，MO=4，NQ=4，最大旋转角BMO=30度，点N到CD的距离是 2。
探究二：(1)由已知得出M与P的距离为4，PMAB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出BMO的最大值。
(2)分别求出最大值为OMH+OHM=30+90以及最小值=2MOH，即可得出的取值范围。
3.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示，AC为⊙O的直径且PAAC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D， .
(1)求证：直线PB是⊙O的切线;
(2)求cosBCA的值.
【答案】(1)证明：连接OB、OP
∵ 且D， △BDC∽△PDO。
DBC=DPO。BC∥ OP。
BCO=POA ，CBO=BOP。
∵OB=OC，O CB=CBO。BOP=POA。
又∵OB=OA， OP=OP， △BOP≌△AOP(SAS)。
PBO=PAO。又∵PAAC， PBO=90。
直线PB是⊙O的切线 。
(2)由(1)知BCO =P OA。
设PB ，则BD= ，
又∵PA=PB ，AD= 。
又∵ BC∥OP ， 。 。 。
cosBCA=co sPOA= 。
【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。
【分析】(1)连接OB、OP，由 ，且D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则PBO=PAO=90。
(2)设PB ，则BD= ，根据切线长定理得到PA=PB ，根据勾股定理得到AD= ，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到 ，则 ，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cosBCA=cosPOA的值。
4.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图，等圆⊙O1 和⊙O2 相交于A,B两点，⊙O2 经过⊙O1 的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N,连接BM,已知AB=23。
(1) 求证：BM是⊙O2的切线;
(2)求 ⌒AM 的长。
【答案】解(1)证明：连结O2B，
∵MO2是⊙O1的直径，MBO2=90。
BM是⊙O2的切线。
(2)∵O1B=O2B=O1O2，O1O2B=60。
∵AB=23，BN=3，O2B =2。
⌒AM= ⌒BM=1202180=43。
【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。
【分析】(1)连接O2B，由MO2是⊙O1的直径，得出MBO2=90从而得出结论：BM是⊙O2的切线。
(2)根据O1B=O2B=O1O2，则O1O2B=60，再由已知得出BN与O2B，从而计算出弧AM的长度。
5.(内蒙古包头12分)如图，已知ABC=90，AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D.
(1)如果BE=15，CE=9，求EF的长;
(2)证明：①△CDF∽△BAF;②CD=CE;
(3)探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC= CD，请说明你的理由.
【答案】解：(1)∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，
BCE=90，
又∵BC为直径，BFC=CFE=90。CFE=BCE。
∵FEC=CEB，△CEF∽△BEC。 。
∵BE=15，CE=9，即： ，解得：EF= 。
(2)证明：①∵FCD+FBC=90，ABF+FBC=90，ABF=FCD。
同理：AFB=CFD。△CDF∽△BAF。
②∵△CDF∽△BAF， 。
又∵△CEF∽△BCF， 。 。
又∵AB=BC，CE=CD。
(3)当F在⊙O的下半圆上，且 时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC= CD。理由如下：
∵CE=CD，BC= CD= CE。
在Rt△BCE中，tanCBE= ，
CBE=30， 所对圆心角为60。
F在⊙O的下半圆上，且 。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得BCE=90，BFC=CFE=90，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。
(2)①由FCD+FBC=90，ABF+FBC=90，根据同角的余角相等，即可得ABF=FCD，同理可得AFB=CFD，则可证得△CDF∽△BAF。
②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得 ，又由AB=BC，即可证得CD=CE。
(3)由CE=CD，可得BC= CD= CE，然后在Rt△BCE中，求得tanCBE的值，即可求得CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且 。
6.(内蒙古乌兰察布10分)如图，在 Rt△ABC中,ACB=90 D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F .
( 1 )求证： BD = BF ;
( 2 )若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长.
【答案】解：(1)证明：连结OE，
∵OD=OE，ODE=OED。
∵⊙O与边 AC 相切于点E，
OEAE。OEA=90。
∵ACB=90，OEA=ACB。OE∥BC。OED。
ODE=F。BD=BF。
(2)过D作DGAC于G，连结BE，
DGC=ECF，DG∥BC。
∵BD为直径，BED=90。
∵BD=BF，DE=EF。
在△DEG和△FEC中，
∵DGC=ECF，DEG=FEC，DE=EF，△DEG≌△FEC(AAS)。DG=CF。
∵DG∥BC，△ADG∽△ABC。 。
， ， 或 (舍去)。
BF=BC+CF=12+4=16。
【考点】等腰三角形判定和性质，圆切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，对顶角的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质。
【分析】(1)连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得ODE=F，则根据等角对等边即可求证。
(2)易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解。
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